实变函数习题

第一章习题2、(ii)111nnnnnnnABAB证明：对于11,nnnnxAB11nnnnxAxB且001,1,nnnxAnxB且对于0001,nnnxAB1nnnxAB22、具体构造0,1与0,1之间的一个完全的一一映射.解：记0,1中的有理数点集为Q；0,1中的无理数点集为M0,1QM；0,10,1QM,作映射12132,,0,1,..........nnxMxxrrrrrr所以0,10,1与等价29、求证：nR中任一集合的导集是闭集.证明：若E,则E为闭集,否则要证明E为闭集EExEx为E的聚点0,,VxxE1,xVxxE11,xVxx110,,,2VxVxxE使得11110,,VxxE10,11,Vx中含有E的无穷多个点1,Vx也中含有E的无穷多个点1,,EVxEVxxEEE从而E为闭集30、(i)设,AB是任意的两个集合,若AB,则AB.证明：xAx为A的聚点0,,VxxAAB0,,VxxBx为B的聚点xB(ii)若ABA,求证：B是闭集.根据(i)式可知BAB,则B是闭集32、nR中任一集合的孤立点是至多可数的证明：先来证明1R中的孤立点是至多可数的记B为1R中以有理数为端点的开区间全体所成的集合,,,mnnmBrrrrQ则B为可数集.设A为1R中的孤立点全体,则对于任意的xA,则存在x的一个以有理数为端点的邻域,xx,使得,xxAx`对于每一个xA,都做出这样的一个邻域,由于每个邻域中只含有一个A中的点,故对于A中不同的两个点对应的邻域,xx，,yy也不同.令,xxDxA则A与D等价,而DB,则D是至多可数集,从而A是至多可数集,因此有限个至多可数集的直积是至多可数集.33、若A不可数,则A也不可数.证明：假设A是至多可数集,则设B为A的孤立点全体,则B为至多可数集因为ABAA,AAA,则AA为至多可数集则A为至多可数集与已知矛盾.第二章习题2、求证：*inf:,mEmQEQQ是开集证明：因为EQ,所以*inf:,mEmQEQQ是开集又因为Q是开集,而1,nnnQab,其中,nnab为两两不交的开区间*11inf:,nnnnnmElIEII是开区间列因为开区间是开集,但是开集不一定是开区间,所以11:,nnnnnlIEII是开区间列:,mQEQQ是开集因此11inf:,inf:,nnnnnlIEIImQEQQ是开区间列是开集3、设12,GG是两个不相交的开集,1122,EGEG,求证：***1212mEEmEmE证明：1G,所以***12121121CmEEmEEGmEEG**11211121CCmEGEGmEGEG**12mEmE6、设**,,mAmB求证：***mAmBmAB证明：要想证明***mAmBmAB,只需要证明****mABmAmBmAB下面来证明***mAmBmAB,即证明：***mAmABmB而*****mABmBmABBmABmA同理可证明：***mABmAmB10、设1nnE是可测集列,(i)求证：limlimnnnnmEmE.证明：1limnknknnEE,左右取测度1limlimlimnkknnknknnknknmEmEmEmElimlimkknnnnmEmE(ii)若有0k,使得0kkkmE,求证：limlimnnnnmEmE证明：1limnknnknEE,左右取测度1limlimlimnkknnnknknknknmEmEmEmElimlimknknnnmEmE11、设A可测并且0mAB,则B.证明：BABAm0可测由A可测可知CA可测而CCABABA,所以CBA可测从而BA可测;CABAAB可测,而ABABB,所以可测.13、设21,EE都可测,求证：212121EEmEEmEmEm.证明：已知1E可测,则取集合21EET,有CEEEmEEEmEEm12112121CEEmEm121再取2ET,有CEEmEEmEm12122结合上边两式便知212121EEmEEmEmEm20、设1kkE是0,1中测度皆为一的可测集列,求证11kkmE.证明110,10,11kkkkkEEmE1111111111110,10,111ckkkkckkkkckkkkkkkkkkkkkmmEEmEmEmEmEmEmEmEmE11nnmE22、设1knkE是0,1中的可测集,满足11nkkmEn,求证：10nkkmE.证明：10,1nkkE,110,11CnnkkkkmEEm要证明10nkkmE,只需证明11nCkkmE而1110,1nnnCCkkkkkkmEmEmE10,1nkkmmE111nkknmEnn第三章习题4、若对于任何,,ab,f在,可测,求证:f在,ab上可测.证明：ab，0011,2bann使得011,,nnababnnR011,,nnxabfxxabfxnn因此f在,ab上可测6、求证：为使fx在R上可测,充要条件是对于任意的有理数,rfr.证明：必要性因为fx在R上可测,则对于,Rf,因此,对于任意的有理数,rfr充分性对于R，存在单调递增的有理数列1nnr,nr且nrn则1nnffr因此fx在R上可测8、设fx是可测集合D上的可测函数，则对于任何开集G和闭集F,fG和fF是可测集合.证明：:fGxfxG，1,nnnGab，所以1:,nnnfGxfxab1:,nnnxfxab由并集定义可知,000,,nnnNfxab而00:nnxafxbfGCfFfG10、设1nnfx是可测集合D上的可测函数列,求证：D中使得nfx收敛的点的全体是可测集.证明：设D中使得nfx收敛的点的全体为集合A,而11limlimnnnknAfxfxk11、设fx在R上可微,求证：fx可测.证明：因为fx在R上可微,所以fx在R上连续,R,因此fx在R上为可测函数.所以1lim1nfxfxnfxn可测14、设1kkD是一列两两不相交的可测集,kkDD1,求证为使f在D上可测的充要条件是对于每一个xfk,1在kD上可测.必要性:fDxDfDxRkk::,由题设知kD为可测集,而f在D上可测,所以kD与fDx:均为可测集,故fDxk:为可测集,所以f在kD上可测充分性：fDxfDxkk::1已知对于任意的fDxkk:,1为可测集,由可测集满足可数并的性质f在集合D上测23、设在可测集D上ffn,ngg,求证：(i)nnfgfg.证明：已知,,nnffgg可知对于0lim02nnmff，lim02nnmgg22nnnnfgfgggff220nnnnmfgfgmggmffn(ii)nff证明：因为nnffff所以nnffff因此0nnmffmffn(iv)当mD时,ngnffg证明：对于ngnf的任意子列kngknf,因为nff所以knff,因此存在子列,kkinnff使得.kiaenff又因为ngg，所以kingg因此存在子列kkijinngg，使得.kijaengg...kijkkiijjkijaenaennaenggfgfgff,mD,所以ngnffg27、设1nnfx是0,1上的一列实值可测函数,若0,.1nnfxaefx,求证：0nfx证明：因为0,.1nnfxaefx,0,11m,则01nnfxfx1110111nnnfxfxfx00nnfxfx反之不成立.定理3.2.2、设f,g为可测集合D上的可测函数,是实数,当,ffgg几乎处处有定义的时候,有,,,,ffffgfgg都是可测集合D上的可测函数.证明：对于R,00,,0Df；0,ff；0,ff,0,0Dfff1nnnfgfrgr因为g可测,则g可测,因此fg可测.2,0Dfff2214fgfgfg10,010,010,0ggggggg因此fg也可测.第四章习题1、设f非负且DfdxDmDLf0,,，求证xf在D上几乎处处为零.证明：11nf