电磁场理论基础答案

补充作业：证明：0f证明：ˆˆˆxyzxyz∵ˆˆˆffffxyzxyzfˆˆˆxyzxyzˆˆˆ()fffxyzxyz222222ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆffffffxyxzyxyzzxzyxyxzyxyzzxzy∴0fˆˆˆˆxyyxˆˆˆˆxzzxˆˆˆˆyzzy得证1.1-1.6习题解答证明：0AxˆyˆzˆxyzxAyAzAˆˆˆ()()()yyxxzzAAAAAAxyzyzzxxyAAˆˆˆ[()()()]yyxxzzAAAAAAxyzyzzxxyˆˆˆ()xyzxyzˆˆˆˆˆˆ()()()yyxxzzAAAAAAxxyyzzxyzyzxzxy2222220yyxxzzAAAAAAxyxzyzyxzxzy得证P191-2设zzzyyyxxxRˆ)(ˆ)(ˆ)(2ˆ)1(RRR证明：∵22211(,,)()()()fxyzRxxyyzz1ˆˆˆ()ffffxyzRxyz222ˆˆˆ12()2()2()2()()()xxxyyyzzzxxyyzz32ˆRRRR得证1-5在球坐标系中，已知，其中为常数。试求此标量场的负梯度构成的矢量场，即。204cosrP0、PE解：∵在球坐标系中ˆsin1ˆ1ˆrrrrˆ4)sin(ˆ)2(4cos2030rPrrPˆ4sinˆ2cos2030rPrrPEˆ4sinˆ2cos2030rPrrP1-7求矢量场从所给球面内穿出的通量。AS333ˆˆˆAxxyyzzS为：2222xyza提示：利用高斯散度定理求解解：矢量场从所给球面内穿出的通量AS可表示为SAdS利用高斯散度定理，则有SVAdSAdV∵在直角坐标系中22223333yxzAAAAxyzrxyz22250123345aSVVAdSAdVrdVrrdra∴P622-1一半径为的圆环，环上均匀分布着线电荷，其线电荷密度为，求圆环轴线上任一点处的电场2.1-2.2习题解答al解：在带电圆环上任取一小段dl对应的元电荷为ldqdl(0,0,)Pzldqdl(0,0,)Pz它在点处引起的电场为20ˆ4dqdERR整个带电圆环在点处引起的电场为(0,0,)Pz20ˆ4dqERR采用柱坐标系lldqdladR222Raz22ˆˆˆRrrzzarRRRaz20ˆ4laERdR2222200ˆˆ4()lazzardazaz322202()lazaz2-2求半径为电量为的均匀带电球面所产生的电位、电场强度。aQ解：先求电场强度：ra10SQEdS10Era20SQEdSQa2204QEr220ˆ4QErr再求电位：选无限远处为电位参考点rara12200()ˆ44arraarEdlEdrEdrQQrdrra2200ˆ()44rrrQQrEdlEdrrdrrr2-3求厚度为、体电荷密度为的均匀带电无限大平板在空间各区域所产生的电场。解：dxyzd如图建立坐标系先求带电平板之外的电场作一关于轴对称、高为的立方体为高斯面，如图所示SE12()2dzz0SqEdS1设通过立方体两底面的电场为E11101ESESdS102dE方向垂直于带电平板向外yxyzd再求带电平板内的电场作一关于轴对称、高为的立方体为高斯面，如图所示2()2dzzyS设通过该立方体两底面的电场为0E0SqEdS200012ESESzS00zE方向垂直于带电平板向外0E2z综合起来22ddz00ˆzEz10ˆ2dEz2dz2dz10ˆ2dEz2-4已知某种形式分布的电荷在球坐标系中所产生的电位为，其中、均为常数，周围介质为，求此电荷分布解：()brqerr可求出电荷分布利用Dqb先求出：DDErrEˆrebrrqbrˆ)1(2)0(2rreqbbr设处有电荷存在，空间中的场是由和共同作用产生的。即：0rq()brqerrq)(1VSqdVQSdE于是qdrrreqbrebrrqrbrbr20222414)1(drreqbebrqqrbrbr024)1(4rbrbrbrbreeqebrq0)(4)1(4q42-10同轴电缆的内导体半径为，外导体半径为，其间填充介电常数的电介质。已知外导体接地，内导体的电位为。求（1）介质中的电场和电位；（2）介质中的极化电荷分布。ab0UaU0U2qErLqSqEdS解:（1）介质中的电场和电位设内导体上带电荷量为rLrqEˆ2abLqrdrLrqrdEUbabaln2ˆ20rabrUEˆln0作半径为的圆柱面：)(brarrbabUrdrabrUrdErbrbrlnlnˆln)(00（2）介质中的极化电荷分布bPˆSbPn0DEP00()PDEErabrUEˆln0rabrUPˆln)(0001)(1zPPrrPrrPzrbabaUrrabrUnPararsbln)()ˆ(ˆln)(ˆ0000abbUrrabrUnPbrbrsbln)()ˆ(ˆln)(ˆ0000aU0U补充：同轴电缆的内导体半径为a，外导体半径为b，其间填充介电常数的电介质。已知外导体接地，内导体的电压为。求（1）介质中的和；（2）介质中的极化电荷分布。ar0U2qErLqaUDESqEdS解：（1）介质中的和DE设内导体上带电荷量为2011ˆˆ22qaqErrLrLr01ˆbUDErbar200111ˆ()22bbaaaqaqUEdrrdrLrLab02aqabULba211ˆˆ2qabUErrLrbar（2）介质中的极化电荷分布bPˆSbPn0DEP00()PDEE0021111()()lnbrbUbUrPrPrrrrrrbarbar21ˆabUErbarar0021ˆbUrPrbar001ln22lnbbbVabUbUbQdVrLrdrLbarbaa002211ˆˆˆ()SbrararabUbUraPnrrbarbaa002211ˆˆˆ()SbrbrbrbbUbUrbPnrrbarbab2-12一圆柱形电容器有两层同轴介质，内导体半径为1cm,内层介质，外层介质要使两层介质中的最大电场强度相等，并且内层介质和外层介质所承受的电压也相等，问此两层介质的厚度各应为多少？31r22r0.5cm，0.46cm解：设内导体所带电荷用等效先求内层介质中的电场l1E作半径为的圆柱面，由)(21RrRr11qSdES112lrLErrElˆ211同理得外层介质中的电场：2ErrElˆ222)(32RrRr1R3R2R内层介质中的最大电场强度：1121lRrmE外层介质中的最大电场强度：22222RElRrm1121lRrmE22222RElRrmcmR5.12则内层介质厚度为：cmRRd5.0121另内层介质承受的电压：外层介质承受的电压：5.1ln2ln22112111122121llRRlRRRRdrrrdEU5.1ln2ln223223222233232RRRdrrrdEUllRRlRR两层介质承受的电压相等：2312UU5.1ln25.1ln2321Rll5.1ln35ln3RcmeR96.15.1ln353则外层介质厚度为：cmRRd46.0232补充作业：平行板电容器的极板面积为，两板间距，中间玻璃和空气各占一半厚度，已知玻璃的，其击穿场强为60，空气的击穿场强为30，问电容器接到10的电源上会不会击穿？2400cmScmd5.07rcmkV/cmkV/kV121E2E玻璃空气Ud解：两种介质分界面上无自由电荷分布，则nnDD2121DD2211EE1100121277EEEEUdEdE2221cmkVE/51cmkVE/352的电压作用下，空气所承受的电场强度为超过了其击穿场强，因此空气将被击穿。此时,的电压将全部加在玻璃上，玻璃中的场强为kV10cmkV/35cmkV/30kV10cmkVdUE/4025.01021cmkV/60玻璃不会被击穿343qara231443ErrSqEdS3ˆˆ34rqrErrara204qEr20ˆ4qErr球外为空气，近似为真空，因此球外无极化电荷分布。极化电荷分布于球体内和球体的内表面上。（1）电荷q均匀分布在球体内2-14已知半径为a、介电常数为的介质球带电荷为q，球外为空气。分别在下列情况下求空间各点的电场和介质中的极化电荷分布（1）电荷q均匀分布在球体内；（2）电荷q集中在球心。解：bPˆSbPn0DEP极化电荷分布00()PDEE3ˆ4qrEra03ˆ4Pqrra220022333()11()()44brqPrPrqrrrrraa0032ˆˆˆˆ44SbrarararaPnPrqrrrqaa30()43bbbVqQdVa2002()()44SbraSbSqqQdSaa净极化电荷量为零（2）电荷q集中在球心ra24qErSqEdS2ˆ4qErrra204qEr20ˆ4qErr球外无极化电荷分布。极化电荷分布于球体内和球体的内表面上以及点电荷的外表面上。220222()11()()04brqPrPrrrrrr极化电荷分布0002()ˆ()4qPDEErr0022()()ˆˆˆ44SbrararaqqPnrrra0000022()()ˆˆˆ()44SbrrrqqPnrrrr2002()()44SbraS