线线角-线面角的向量求法--

立体几何中的向量方法线线角,线面角,二面角的求法问题：如何求平面的法向量？),,()1(zyxn设出平面的法向量为),,(),,,()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的111222(3),,0000xyzaxbycznanbaxbycz根据法向量的定义建立关于的方程组个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(平面的法向量不惟一，合理取值即可。空间“夹角”问题1.异面直线所成角设直线,lm的方向向量分别为,ablamlamb若两直线所成的角为,则,lm(0)2≤≤cosabab例2090,RtABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,),(,,1)222FaD所以：11(,0,1),2AF111(,,1)22BD11cos,AFBD1111||||AFBDAFBDA1AB1BC1C1D1F11304.105342所以与所成角的余弦值为1BD1AF3010212)0,20(21ABn221212.线面角设n为平面的法向量，直线AB与平面所成的角为，向量与n所成的角为，则1AB2n而利用可求，从而再求出2.1nABnAB2cos2.线面角uaula设直线l的方向向量为，平面的法向量为，且直线与平面所成的角为(),则aul02≤≤sinauau练习4：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求PB与平面EDB所成角的正弦值ABCDPE解：如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),11(0,,)22PE依题意得DB(1,1，0)11(0,,)22DEDB=(1,1，0)XYZ设平面EDB的法向量为(,,)nxyz,nnDEDB则1101,1,1220于是yznxy例3、的棱长为1.111.BCABC求与平面所成的角的正弦值解1建立直角坐标系.11(010)则，-，，BCB11平面ABC的一个法向量为D=(1，1，1)1110103cos313，BDBC1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABCA1xD1B1ADBCC1yzEF练习：ABCD1A1B1C1D正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1。求职：B1C1与平面AB1C所成角的正弦值练习：ABCD1A1B1C1Dxyz(000)A，，，1(101)B，，，(110)C，，，解：设正方体棱长为1，1ABADAA，，为单以1(101)(110)ABAC，，，，，1(111)C，，，11(010)BC则，，，1()ABCnxyz设为，，平面的法向量100nABnAC则，0=10==-1xzxyn=(1-1-1)，，，，，，xyz所以取得故位正交基底，可得110103cos313nBC，1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABC正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1。求职：B1C1与平面AB1C所成角的正弦值已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为______.练习: