第14章结构动力计算续论

第14章结构动力计算绪论§14-1多自由度体系的自由振动§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵§14-3多自由度体系的强迫振动§14-4无限自由度体系的自由振动§14-5无限自由度体系的自由振动的常微分方程求解器解法§14-6近似法求频率§14-7矩阵位移法求刚架的自振频率§14-8用求解器求解自振频率和振型§14-9小结§14-1多自由度体系的自由振动1.刚度法1111112112221122221122000nnnnmnnnnnnmykykykymykykykymykykyky0My+Ky=12nmmm，M111212122212nnnnnnkkkkkkkkkK振动方程为§14-1多自由度体系自由振动()0KMYsintyY0KM设振动方程解的形式为将上式代入振动方程，得若得到非零解，则2111212212222120nnnnnnnnnkmkkkkmkkkkm展开形式为（a）§14-1多自由度体系自由振动()T12()iiiniYYYY2()()0iiKMY解行列式，得到n个体系的自振频率12,,,n令将()Yii，代入式（a），得由此可求出第i振型（b）式（b）是一组齐次方程，只能确定主振型的形状，但不能位移地确定它的振幅。§14-1多自由度体系自由振动振型的标准化■规定某个元素的值，如第一个元素等于1，或者最大的一个元素等于1■规定主振型满足下式()T()1iiYYM§14-1多自由度体系自由振动例14-1试求图示刚架的自振频率和振型。设横梁的变形忽略不计，层间刚度系数和质量如图所示。解（1）求自振频率§14-1多自由度体系自由振动205058315033k，K220010001mM22025058315033kKM刚度矩阵和质量矩阵分别为频率方程为15mk§14-1多自由度体系自由振动展开，得222422252250用试算法求得方程的三个根为1231.2936.68013.0272221230.08620.04530.8685kkkmmm，，因此，三个自振频率为230.29360.66730.9319kkkmmm，，进一步求得§14-1多自由度体系自由振动（2）求振型令Y31＝1，解得11、将代入振型方程，得1121213117.4145056.707315031.707YkKMYYY11(1)11320.1630.5691YYYY§14-1多自由度体系自由振动令Y32＝1，解得22、将代入振型方程，得122222326.6405051.320315033.680YkKMYYY12(2)22320.9241.2271YYYY§14-1多自由度体系自由振动令Y33＝1，解得33、将代入振型方程，得132323336.0545055.0273150310.027YkKMYYY13(3)23332.7603.3421YYYY§14-1多自由度体系自由振动§14-1多自由度体系自由振动刚度法振动方程为2()0KMY2()0IMY1K由得令21，得0MI()0MIY故频率方程为2柔度法§14-1多自由度体系自由振动111122121122221122()()0()nnnnnnnnnmmmmmmmmm展开为相应的振型方程为()()0iiMIY§14-1多自由度体系自由振动例14－2试用柔度法重做例14－1。解（1）求自振频率由各层的刚度系数得到各层柔度系数为12123311133155kkkkkk，§14-1多自由度体系自由振动3122334911213121223244§14-1多自由度体系自由振动111144149δ柔度矩阵为2112440249δMIm21mm频率方程为§14-1多自由度体系自由振动展开，得32154230012311.6012.2461.151，，解得因此，三个自振频率为230.29360.66730.9319kkkmmm，，（2）求主振型将求得的i分别代入振型方程，得到三个振型。任选体系的两个振型()T12()T12()()kkknklllnlYYYYYYYY12nmmmM体系的质量矩阵为()T()0lkYMY则，第一个正交关系为§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵1主振型的正交性§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵另一种证明方法令振型方程中的i分别等于k、l，得()2()()2()abKYMYKYMYkkklll（）（）将（a）式两边分别左乘Y（l）T、（b）式两边分别左乘Y（k）T，得()T()2()T()()T()2()T()cdYKYYMYYKYYMYlklkkklkll（）（）考虑KT=K，MT=M，将（d）式两边转置，得§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵22T()()0MYlkklY（）()T()0lkYMY()T()2()T()eYKYYMYlklkl（）式（c）-式（d），得kl若，得T()0MYlkY（）第一个正交关系将第一个正交关系代入（c），得对刚度也正交对于k=l，定义T()MYkkkYM（）——第k振型的广义质量T()YkkkYKK（）——第k振型的广义刚度§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵以Y（k）T前乘下式()2()KYMYkkk2kkkKKkkkKM()T()2()T()kkkkkYKYYMY得即由此得——由广义刚度和质量求自振频率§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵主振型正交关系的应用■判断主振型的形状特点第二振型分为两个区，各居结构的两侧，只有这样才能满足正交条件；第三振型分为三区，交替位于结构的不同侧。这样才能符合与第一、第二主振型都彼此正交的条件。§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵■确定位移展开公式中的系数(1)(2)()()121nniniiyYYYY()T()T()1njjiiiYMyYMY()T()T()jjijjjYMyYMYM()TjjjYMyM任意一个位移向量都可按主振型展开用Y（j）TM前乘上式两边由正交性，得由此求得系数为§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵205058315033k，K例14－3验算例14－1中所求得的主振型的正交性，求出每个主振型相应的广义质量和广义刚度，并求频率解由例14－1得知刚度矩阵和质量矩阵分别为220010001mM三个主振型分别为(1)0.1630.5691Y，(2)0.9241.2271Y，(3)2.7603.3421Y§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵（1）验证对质量矩阵的正交性(1)T(2)2200.1630.5691010001mYMY0.1632(0.294)0.5691(1.227)111(10.9994)0.0060mmm同理(1)T(3)(2)T(3)0.00200.00020mmYMYYMY§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵（2）验证对刚度矩阵的正交性(1)T(2)20-500.9240.1630.5691-58-31.227150-331(6.6816.676)015YKYkk(1)T(3)(2)T(3)(24.7524.77)015(34.072034.0722)015YKYYKYkk同理§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵（3）求广义质量(1)T(1)12000.1630.1630.56910100.56900111.377MYMYmm(2)T(2)2(3)T(3)34.21327.404mmMYMYMYMY同理§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵（4）求广义刚度同理(1)T(1)120-500.1630.1630.5691-58-30.569150-3311.78015YKYkKk(2)T(2)2(3)T(3)328.14415356.99515kKkKYKYYKY§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵（5）求频率1110.2936KkMm2223330.66730.9319KkMmKkMm§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵主振型向量组成的方阵1112121222(1)(2)()12nnnnnnnYYYYYYYYYYYYY(1)T11212(2)T12222T()T12nnnnnnnYYYYYYYYYYYYY转置矩阵为2主振型矩阵§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵故(1)T(2)TT(1)(2)()()TnnYYYMYMYYYY(1)T(2)T(1)(2)()()TnnYMYMYYYYM(1)T(1)(1)T(2)(1)T()(2)T(1)(2)T(2)(2)T()()T(1)()T(2)()T()nnnnnnYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMY§14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵1T2000000nMMMYMYM12T000000nKKKYKYK同理由振型的正交性可知，非对角线上的元素等于零，主对角线上的元素为各振型的广义质量。所以振动方程为111111211P1222112222P21122P3()()()nnnnmnnnnnnmykykykyFtmykykykyFtmykykykyFtP()tMy+KyF——简谐荷载P1P2PPP()sinsinFFnFFtttF若§14-3多自由度体系的强迫振动1n个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动§14-3多自由度体系的强迫振动在平稳阶段，各质点也作简谐振动，即12(t)sinsinnttYYyYY2P()KMYF20DKM代入振动方程，整理后，得令若D0≠0，则10PYFD§14-3多自由度体系的强迫振动讨论00DY故,当荷载频率与其中任意一个自振频率相等时,都可能出现共振现象，因此，对n个自由度体系，存在n个共振区。§14-3多自由度体系的强迫振动振动方程P()tMy