4.2-同角三角函数基本关系式及诱导公式练习题

§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式一、选择题1．cos－20π3＝()A.12B.32C．－12D．－32解析cos－20π3＝cos6π＋2π3＝cos2π3＝cosπ－π3＝－cosπ3＝－12，故选C.答案C2.若tan=3，则2sin2cosa的值等于()A．2B．3C．4D．6解析因为2sin2cosa=22sincoscosa=2tan6,所以选D.答案D3．若cos(2π－α)＝53且α∈－π2，0，则sin(π－α)＝()．A．－53B．－23C．－13D．±23解析cos(2π－α)＝cosα＝53，又α∈－π2，0，∴sinα＝－1－cos2α＝－1－532＝－23.∴sin(π－α)＝sinα＝－23.答案B4．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα的值等于()．A．－2B．2C．－2或2D．0解析原式＝sinα|cosα|＋|sinα|cosα，由题意知角α的终边在第二、四象限，sinα与cosα的符号相反，所以原式＝0.答案D5.已知sin2α＝－2425，α∈－π4，0，则sinα＋cosα＝()A．－15B.15C．－75D.75解析：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝125，又α∈－π4，0，sinα＋cosα0，所以sinα＋cosα＝15.答案：B6．已知f(cosx)＝cos3x，则f(sin30°)的值为()．A．0B．1C．－1D.32解析∵f(cosx)＝cos3x，∴f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos180°＝－1.答案C7．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为()．A．1＋5B．1－5C．1±5D．－1－5解析由题意知：sinθ＋cosθ＝－m2，sinθcosθ＝m4，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴m24＝1＋m2，解得：m＝1±5，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－5.答案B二、填空题8．若sin(π＋α)＝－12，α∈π2，π，则cosα＝________.解析∵sin(π＋α)＝－sinα，∴sinα＝12，又α∈π2，π，∴cosα＝－1－sin2α＝－32.答案－329．已知cosα＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.解析由α是第二象限的角，得sinα＝1－cos2α＝1213，tanα＝sinαcosα＝－125，则tan(2π－α)＝－tanα＝125.答案12510．已知α为第二象限角，则cosα1＋tan2α＋sinα1＋1tan2α＝________.解析：原式＝cosα1＋sin2αcos2α＋sinα1＋cos2αsin2α＝cosα1cos2α＋sinα1sin2α＝cosα1－cosα＋sinα1sinα＝0.答案：011．已知sinαcosα＝18，且π4＜α＜π2，则cosα－sinα的值是________．解析(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝34，又∵π4＜α＜π2，sinα＞cosα.∴cosα－sinα＝－32.答案－3212．已知sinα＝12＋cosα，且α∈0，π2，则cos2αsinα－π4的值为________．解析依题意得sinα－cosα＝12，又(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，即(sinα＋cosα)2＋122＝2，故(sinα＋cosα)2＝74；又α∈0，π2，因此有sinα＋cosα＝72，所以cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα＝－2(sinα＋cosα)＝－142.答案－142三、解答题13．已知sinα＝255，求tan(α＋π)＋sin5π2＋αcos5π2－α的值．解析∵sinα＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝55，tan(α＋π)＋sin5π2＋αcos5π2－α＝tanα＋cosαsinα＝sinαcosα＋cosαsinα＝1sinαcosα＝52.当α是第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－55，原式＝1sinαcosα＝－52.14．已知1＋tan＋α1＋tan2π－α＝3＋22，求cos2(π－α)＋sin3π2＋α·cosπ2＋α＋2sin2(α－π)的值．解析：由已知得1＋tanα1－tanα＝3＋22，∴tanα＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22.∴cos2(π－α)＋sin3π2＋αcosπ2＋α＋2sin2(α－π)＝cos2α＋(－cosα)(－sinα)＋2sin2α＝cos2α＋sinαcosα＋2sin2α＝cos2α＋sinαcosα＋2sin2αsin2α＋cos2α＝1＋tanα＋2tan2α1＋tan2α＝1＋22＋11＋12＝4＋23.15．化简：kπ－αk－－α]k＋＋αkπ＋α(k∈Z)．解析当k＝2n(n∈Z)时，原式＝nπ－αn－－α]n＋＋αnπ＋α＝－α－π－α＋αα＝－sinα－cosα－sinα·cosα＝－1；当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝n＋－αn＋1－－α]n＋1＋＋αn＋＋α]＝－ααsinα＋α＝sinα·cosαsinα－cosα＝－1.综上，原式＝－1.16．已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解析(1)原式＝sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－sinθcosθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ＝sin2θ－cos2θsinθ－cosθ＝sinθ＋cosθ.由条件知sinθ＋cosθ＝3＋12，故sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ＝3＋12.(2)由sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2，得1＋m＝3＋122，即m＝32.(3)由sinθ＋cosθ＝3＋12，sinθ·cosθ＝34得sinθ＝32，cosθ＝12或sinθ＝12，cosθ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π6或θ＝π3.