2.3.1离散型随机变量的数学期望

2.3离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的分布列XP1xix2x······1p2pip······性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1．教学过程)/(23613631242118kg元合理价格：加权平均权数思考：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？)/(23613631242118kg元合理价格：18×P（Ｘ=18）+24×P（Ｘ=24）+36×P（Ｘ=36）=23XP思考：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？如果混合糖果中每一颗糖果的质量和形状都相同,从混合糖果中任取一颗糖，用X表示这颗糖的价格，X的分布列怎样？182436213161一、离散型随机变量取值的均值(数学期望)一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：1122()iinnEXxpxpxpxp则称为随机变量X的均值或数学期望。P1xix2x······1p2pip······nxnpX它反映了离散型随机变量取值的平均水平。随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的均值X123456P1/61/61/61/61/61/6解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量X的均值为E（X）=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y的均值？随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的期望Y35791113P1/61/61/61/61/61/6解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量Y的均值为E（Y）=3×1/6+5×1/6+7×1/6+9×1/6+11×1/6+13×1/6=8你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y的均值？=2E（X）+1你能猜想出结果吗?二、离散型随机变量均值的性质(1)随机变量均值的线性性质设X为离散型随机变量，若Y=aX+b，其中a,b为常数，则E（Y）=？aE(X)+b()()EaXbaEXbX……P……()(),1,2,3iiPYaxbPXxin而，，证：设离散型随机变量X的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx所以Y的分布列为Y……P……ip2axb2pnpiaxb1axb1pnaxb1122()()()()nnEYaxbpaxbpaxbp1122()nnaxpxpxp12()nbppp()aEXb若Y=aX+b,则E(Y)=aE(X)+b1、随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则E（ξ）=.2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，则E（η）=.5.8ξ47910P0.3ab0.2E（ξ）=7.5,则a=b=.0.40.1解:X的分布列为所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＝0×0.3＋1×0.7＝0.7．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分X的均值？X01P0.30.7P1-P1-PPP篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他连续罚球3次的得分X的均值是多少？X0123P33.0分析：X～B（3，0.7）1230.70.3C2230.70.3C37.03122233300.310.70.320.70.330.7EXCC1.27.03E（x）=若X~B(n，p)，则E(X)=np性质2：若X~B(1，p)，则E(X)=p性质3：二、离散型随机变量均值的性质性质1：随机变量均值的线性性质()()EaXbaEXb3、一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是.34、随机变量X~B（8，p），已知X的均值E（X）=2，则P（x=3)=（保留2位有效数字）。0.21反思：1、用定义求随机变量均值的一般步骤：1）找出随机变量的可能取值；反思：2、求随机变量均值的一般方法：1）利用定义求均值；2）求出分布列3）利用定义（公式）求均值。2）利用线性性质求均值。3）两点分布，二项分布直接用公式求均值。概念步骤期望的概念求期望的三个步骤方法求期望的三种方法一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是ξ和η，则ξ～B(20，0.9)，η～B(20，0.25)，E(ξ)＝20×0.9＝18，E(η)＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是E(5ξ)＝5E(ξ)＝5×18＝90，E(5η)＝5E(η)＝5×5＝25．根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失60000元,遇到小洪水损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:方案1:运走设备,搬运费为3800元;方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水;方案3:不采取任何措施.试比较哪一种方案好?题型一利用定义求离散型随机变量的数学期望袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X的数学期望．[思路探索]先分析得分的所有取值情况，再求分布列，代入公式即可．【例】解取出4只球颜色及得分分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，P(X＝5)＝C14C33C47＝435，P(X＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X＝8)＝C44C03C47＝135，故X的分布列如下：X5678P43518351235135∴E(X)＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447(分)．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．【变式1】解从10件产品中任取3件，共有C310种结果．从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为Ck3C3－k7，其中k＝0，1，2，3.∴P(X＝k)＝Ck3C3－k7C310，k＝0，1，2，3.所以随机变量X的分布列为X0123P72421407401120∴E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．[思路探索](1)投篮1次命中次数X服从两点分布，故由两点分布的均值公式可求得；(2)重复5次投篮，命中次数X服从二项分布，代入公式E(X)＝np可得．解(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：题型二两点分布与二项分布的数学期望【例2】X01P0.40.6则E(X)＝p＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.应用概念步骤期望的概念期望为我们提供了实际问题决策的理论依据。求期望的三个步骤方法求期望的三种方法1、离散型随机变量均值的定义X……P……一般地,若离散型随机变量X的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx则称为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。1122iinnEXxpxpxpxp小结2、离散型随机变量均值的性质()EaXbaEXb(1)随机变量均值的线性性质若ξ~B(n，p)，则E(ξ)=np(2)服从两点分布的均值(3)服从二项分布的均值若ξ~B(1，p)，则E(ξ)=p1、某射手射击所得环数X的分布列如下：能否估计出该射手n次射击的平均环数？X45678910p0.020.040.050.100.250.300.24分析：∵随机变量X的均值等于：EX=4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.24＝8.38环．思考：若该射手在一次练习中射击了n次，这次练习他所得的平均环数一定是8.38环吗？n次练习所得的平均环数与x的均值8.38环有何区别和联系？∴该射手n次射击的平均环数约为8.38环．随机变量的均值与样本平均值有何区别和联系？区别：随机变量的均值是一个常数，而样本平均值随着样本的不同而变化的，是一个随机变量。联系：随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值（随机变量的均值）。设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．（1）Y的分布列是什么？（2）EY=？思考：P1xix2x······1p2pip······nxnpXnniipxpxpxpxEX2211P1x2x···1p2p···nxnpXP1x2x···1p2p···nxnpXbax1bax2···baxnnnpbaxpbaxpbaxEY)()()(2211)()(212211nnnpppbpxpxpxabaEXY＝aX＋b一、离散型随机变量取值的均值数学期望nniipxpxpxpxEX2211P1xix2x······1p2pip······nxnpX二、随机变量数学期望的性质（线性性质）baEXbaXE)(即时训练：1、随机变量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)则EX=.2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若Y=2X+1，则EY=.5.8ξ47910P0.3ab0.2Eξ=7.5,则a=b=.0.40.1例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1－p则pppEX)1(01三、例题讲解例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？三、例题讲解变式1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他连续罚球3次的得分X的均值是多少？X0123P33.0分析：X～B（3，0.7）2133.07.0C3.07.0223C37.0322321337.033.07.023.07.013.00CCEX1.27.03为什么呢？Ex=例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？三、例题讲解变式2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为p，则他连续罚球n次的得分X的均值是多少？x01…k…np……111nnCpqkknknCpq0nnnCpqx的概率分布如下：X~B(n,p)00nnCpq00nnCpqEX=0×＋１×＋…k×＋…n×111nnCpqkknknCpq0nnnCpq＝？为什么呢？能证明它吗？npEX2；一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则EX=np结论：1；一般地，如果随机变量X服从两点分布（1，p)，则EX＝p3，一个袋子里