2.3.1离散型随机变量的数学期望课件

某校为了解学生迟到情况，每天记录迟到人数.下表是在100天中的记录.计算每天平均有多少人迟到？人数0123天数30302020解法1:(0×30+1×30+2×20+3×20)/100=1.3解法2:0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3X0123P30/10030/10020/10020/100问题：已知分布列如何求均值？一般地，若离散型随机变量X的概率分布为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学期望，记为E(X)Xx1x2…xnPp1p2…pn其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝1新课讲授随机变量的均值或数学期望反映了随机变量取值的平均水平一般地，若离散型随机变量X的概率分布为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学期望Xx1x2…xnPp1p2…pn新课讲授若Y=aX+b,其中a,b为常数，那么E（Y）=?可以证明：E（aX+b)=aE(X)+b证明见P60和p731、某射手射击所得环数ξ的分布列如下：能否估计出该射手n次射击的平均环数？2、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布下：X10123pk0.70.10.10.1X20123pk0.50.30.20如何比较甲、乙两个工人的技术？ξ45678910p0.020.040.060.090.280.290.22练习：8.32甲0.6，乙0.7例1：已知随机变量X的分布列如下：X－2－1012P141315m120(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y).11762;,63015变试训练1设离散型随机变量ξ可能的取值为1,2,3,4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又ξ的数学期望E(ξ)＝3，则a＋b＝________.答案110几何分布：独立重复试验（贝奴利试验）中，事件首次发生所需要的试验次数X服从几何分布.超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中有一类物品的件数为M，从所有物品中任取n件（n不超过N），这n件中所含的这类物品的件数X所服从的分布.二项分布：n次独立重复试验（贝奴利试验）中，事件发生的次数X服从二项分布.两点分布：1次试验（贝奴利试验）中，事件发生的次数X服从两点分布.例2：一个袋子里装有大小相同的2个白球和1个黑球，有放回的从中取球，取了4次，求取到黑球个数的期望.E(X)=4/3X01234P16/8132/8124/818/811/81若X～B（n，p），则E（X）=np例3：一次单元测验由12个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分，满分60分.学生甲选对任意一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值.甲选项正确的个数X~B(12，0.9)E(X)=10.8甲得分Y=5XE(Y)=54乙的选项正确的个数Z~B(12,0.25)E(Z)=3乙得分Z`=5ZE(Z`)=15例4一个袋子里装有大小相同的5个白球和4个黑球，从中任取3个，求其中所含白球个数的期望.X服从超几何分布，E(X)=Nm/N=3*15/9=5/3X服从超几何分布，E(X)=140/84=5/3X0123P4/8430/8440/8410/84例5一个袋子里装有大小相同的5个白球和4个黑球，从中取出一个小球若是黑球则放回重取，若是白球则停止取球，求停止取球时所需要的取球次数X的期望.X1234…P5/920/8180/729320/6561……若X服从两点分布，则E（X）=p若X～B（n，p），则E（X）=np若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E（X）=nMN若X服从几何分布，则E（X）=1p2、性质(1)()()EaXbaEXb(2)()()()EaXbYaEXbEY1.统计表明：商场内的促销活动可获得经济效益2万元；商场外的促销活动，如果不遇雨天则带来经济效益10万元，如果遇雨天则带来经济损失4万元,假设五一劳动节有雨的概率是40%，请问商场应该选择哪种促销方式较好？4.42实际应用：2：根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元，为保护设备，有以下3种方案：(1)运走设备，搬运费为3800元.(2)建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水.(3)不采取措施.试比较哪一种方案好.3根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望．解：设A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝AUB，P(C)＝P(AUB)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，X～B(100,0.2)，即X服从二项分布，所以期望E(X)＝100×0.2＝20.4：随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解:(1)ξ的所有可能取值有6,2,1，－2；P(ξ＝6)＝126200＝0.63，P(ξ＝2)＝50200＝0.25，P(ξ＝1)＝20200＝0.1，P(ξ＝－2)＝4200＝0.02.故ξ的分布列为：ξ621－2P0.630.250.10.02(2)E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)依题意，E(x)≥4.73，即4.76－x≥4.73.解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.5.如图所示，A，B两点之间有6条并联网线，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中取三条网线．(1)设从A到B可通过的信息总量为x，当x≥6时，可保证使网线通过最大信息量信息畅通，求线路信息畅通的概率；(2)求通过的信息总量的数学期望．解:(1)总量为6时，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3，故P(x＝6)＝1＋C21C21C63＝14；总量为7时，7＝1＋2＋4＝2＋2＋3，故P(x＝7)＝1＋C21C21C63＝14；总量为8时，8＝1＋3＋4＝2＋2＋4，故P(x＝8)＝2＋1C63＝320；总量为9时，9＝2＋3＋4，故P(x＝9)＝2C63＝110.故P(x≥6)＝14＋14＋320＋110＝34.(2)同理P(x＝4)＝110，P(x＝5)＝320，x的分布列为：x456789P1103201414320110故所求期望E（X）＝110×4＋320×5＋14×6＋14×7＋320×8＋110×9＝6.5.人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。