2.3.1离散型随机变量的均值(数学期望)(新)

2.3.1离散型随机变量的数学期望1、什么叫n次独立重复试验？一.复习一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与，每次试验中P(A)＝p＞0。称这样的试验为n次独立重复试验，也称伯努利试验。2、什么叫二项分布？kknknnP(k)Cp(1p)ξ01…k…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0若X～B(n，p)2、离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＝1．1、离散型随机变量的分布列一、复习导引3、求离散型随机变量的分布列的步骤：①离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，②求ξ取每一个值xi(i＝1，2，…)的概率P(ξ＝xi)＝pi，③列出分布列表1、某人射击10次,所得环数分别是:1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？2104332221111X把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P10410310210121014102310321041X权数加权平均二、互动探索反映标志值对平均数的影响程度二.问题1、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布下：X10123pk0.70.10.10.1X20123pk0.50.30.20如何比较甲、乙两个工人的技术？对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.数学期望的定义若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称：E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望。•它反映了离散型随机变量取值的平均水平。E(X1)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6E(X2)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7对于问题1由于E(X1)＜E(X2)，即甲工人生产出废品数的均值小，从这个意义上讲，甲的技术比乙的技术好。问题1、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布下：X10123pk0.70.10.10.1X20123pk0.50.30.20如何比较甲、乙两个工人的技术？例1假如你是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为万元，则的分布列为0.40.6P－410E=10×0.6＋(－4)×0.4=4.4万元()＞2万元,故应选择在商场外搞促销活动。1、随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则Eξ=.2、随机变量ξ的分布列是2.4ξ47910P0.3ab0.2Eξ=7.5,则a=b=.0.40.1变式设Y＝aX＋b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量．(1)Y的分布列是什么？(2)EY=？思考：P1xix2x······1p2pip······nxnpX1122()iinnEXxpxpxpxpP1xix2x······1p2pip······nxnpXP1xix2x······1p2pip······nxnpXYbax1baxibax2······baxn1122()()()()nnEYaxbpaxbpaxbp)()(212211nnnpppbpxpxpxa()aEXb2、数学期望的性质()()EaXbaEXb练一练1、随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则E(ξ)=.2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，则E(η)=.5.8ξ47910P0.3ab0.2(1)E(ξ)=7.5,则a=b=.0.40.1(2)若η=3ξ+2，则E(η)=.24.53.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是.1.24.（1）若E(ξ)=4.5,则E(－ξ)=.（2）E(ξ－Eξ)=.-4.50例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？X=1或X=0P(X=1)=0.7X10P0.70.3()10.700.30.7EX三、例题讲解一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=？()10(1)EXppp一般地，如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1－p则()10(1)EXppp小结：例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望。X0123P33.0解：(1)X～B（3，0.7）2133.07.0C3.07.0223C37.0(2)322321337.033.07.023.07.013.00CCEX1.2EX7.03如果X~B（n，p），那么EX=？一般地,如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则小结：()EXnp练一练:一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球次数的数学期望是.3∴E(ξ)=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=npξ01…k…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=nCn-1k-1)若ξ~B(n，p)，则E(ξ)=np所以若ξ～B(n，p)则E(ξ)＝np．不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分例3.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是ξ和η,则ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)，所以E(ξ)＝20×0.9＝18，E(η)＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?思考2.有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场赌博对你是否有利?1111()1030.6236E对你不利!劝君莫参加赌博.例3.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中摸出3个球.（1）求得到黄球个数ξ的分布列；（2）求ξ的期望。解：(1)ξ服从超几何分布ξ012P032335CCC122335CCC212335CCC163(2)()0121.2101010E小结：一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则NnMXE例4:（2009上海）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量x表示选出的志愿者中女生的人数，则x的数学期望是（结果用最简分数表示）超几何分布()nMEN74变式一个袋子里装有大小相同的5个白球5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望。105*4E(X)==22、射手用手枪进行射击,击中目标就停止,否则继续射击,他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望.(保留三个有效数字)0.340.33×0.70.32×0.70.3×0.70.7p54321E=1.43()课堂小结1、离散型随机变量的数学期望nniipxpxpxpxXE2211)(2、数学期望的性质bXaEbaXE)()(P1xix2x······1p2pip······nxnpX数学期望是反映离散型随机变量的平均水平3、如果随机变量X服从两点分布为X10Pp1－p则()EXp4、如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则()EXnp5、如果随机变量X服从超几何分布，即X～H（n,M,N）则NnMXE)(