金融工程学-第六讲-BS公式

1《金融工程学》课程第六讲Black-Scholes-Merton期权定价模型2欧式期权定价——轶事•期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在1973年——金融学家F.Black与M.Scholes发表了“期权定价与公司负债”的著名论文•该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式——Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法•M.Scholes主要因为这一工作与R.Merton一道荣膺了1997年的诺贝尔经济学奖3欧式期权定价——轶事•巧合的是，国际上第一个期权交易所——芝加哥期权交易所于1973年4月底挂牌营业，略早于B-S公式的正式发表（5-6月号）•两位作者最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒绝，而且没有得到审稿意见。拒绝的理由：–金融太多，经济学太少•他们于是向经济学与统计学评论投稿，同样在没有得到审稿意见的情况下遭到拒绝•在芝加哥人E.Fama和M.Miller与JPE杂志的编辑打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文•这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先4教学内容1.风险中性定价2.标的资产的变化过程3.B-S期权定价公式4.波动率的计算5.二值期权6.标的资产支付红利情况下的期权定价7.欧式指数期权、外汇期权和期货期权51.风险中性定价•风险中性市场，欧式看涨期权max((),0)(,)CSTXVTw(,)max((),0)rTQrTQCEVTweeESTX62.标的资产价格的变化规律•确定性模型：•随机模型：()ln()(0)strtsZtσtσreStS)2(02)()1,0(~)2())0()(ln(2NZZtσtσrsts7对数正态分布•在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果X是正态分布的随机变量，则exp(X)为对数分布；同样，如果Y是对数正态分布，则log(Y)为正态分布。如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期连续收益率，它可以看作是每天连续收益率的乘积。对于x0，对数正态分布的概率分布函数为891011马尔科夫过程(Markovprocess)•无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关•如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径–股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技术分析不能战胜市场–股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性12Wiener过程(布朗运动)—定义•瞬时增量为–增量的均值等于0–增量的标准差等于ztWiener过程，Brown运动：独立增量，在任意两个微小时间段内的改变量是独立的每个区间上的增量满足正态分布Wiener过程是Markov过程t13Wiener过程(布朗运动)——基本性质•Wiener过程(长时间段内)的增量–增量的均值等于0–增量的标准差等于10NiizTztNTtT14股票价格的随机过程GBM•令S(t)表示股票在t时刻的价格，随机微分模型•SamuelsonP.A1965;Bachelier1990•股票价格的对数过程为Brown运动•股票价格的几何布朗运动模型（GBM）)1,0(~))(2())()(ln(1212212NZZtttttsts)()()()(tdZtSdttStdS15例•考虑一种标的资产，初始价格为$40，预期收益率为每年16％，波动率为每年20％。则经过六个月后，资产的价格S(t)服从如下概率分布：)141.0,759.3()5.02.0,5.0)204.016.0(40(ln~)(lnNNtS16实际中GBM的参数估计•知道期限[0，T]的股价数据记录，将[0，T]分为长度相等的子区间•第一步计算每个区间的连续收益率，得到序列U1,U2,…,Un•第二步计算U1,U2,…,Un的均值和方差•第三步解方程tStU222)2(17无套利市场中的股票价格过程•在无套利市场中，根据风险中性定价原理，应该成立•所以在期权定价中，股票价格的对数过程为如下的Brown运动•该假设与风险中性原理的吻合)1,0(~))(2())()(ln(1212212NZZttttrtstsreStEStSeStEStrt＝，可见，在无套利市场中到满足对数正态分布，得又根据00)()()(183.B-S公式的推导•1．引入示性函数：1,{|(,)}()0,max((,),0)((,))()((,))AAwAwStwXIwwAStwxStwxIwStwx19•命题1：设20221(ln())21,()()0,ASdrtXtZwdIw其它20•事实上，S(t)X2()202020()ln21(ln())2()[(())]((()))rttQAQAQASexXrttZSXZrtStwwEIStXEIStXEIA-rt-rt注意,I中的是使期权执行的事件.C=ee21•命题2：2()QAEId22222(())()1()1()1(1())()QAEIPStXPZdPZdddd22•命题3：01((()))()QAEIStSd-rte其中，20121(ln())2SddtrtXt23定理：Black-Scholes期权定价公式012()()rTcSNdXeNd201()()rTpXeNdSNd2012lnSrTXdT20212lnSrTXddTT24对公式的诠释•其中，N(x)表示的标准正态分布N(0,1)的概率值•假设股票的连续收益率满足布朗运动，•Brown运动：独立平稳增量随机过程，每个区间上的增量满足正态分布，•即股票价格满足几何布朗运动，Z－N(0,1)•利用风险中性定价方法2()20()rttZStSe(,)max((),0)rTQrTQCEVTweeESTX25例•Intel股价在1998年5月22日时的有关数据如下:•S=74.625•X=100•T-t=1.646(到期日2000年1月)•r=0.05•波动率＝0.375•D1=-0.207，d2=-0.688，N(d1)=0.4164，N(d2)=0.2451•C=$8.37，实际交易通过竞价市场，市价为$8.25264.关于波动率的计算•历史数据法，隐含波动率法•历史数据法：——前提：在最近的历史期间起主要作用的价格波动率，也同样适用于未来的期间。——计算一个期间的连续收益率的标准差——再转化为以年为单位的连续收益率的标准差27历史数据法计算程序TrrnrnrrrrSSSSSSTnkkTnkknnn1)(11,,,,ln,,ln,ln1221211231228隐含波动率法•隐含波动率，指的是能使B-S模型价格等于期权当前市场价格的标准差的数值•根据特定的精确度，不断试错的过程•股票的所有具备相同到期日的期权合约，都应当拥有相同的波动率。•问题：同一股票的不同合约可能产生不同的隐含波动率X5月6月7月1200.760.790.851250.750.830.861300.760.830.85美国在线公司的波动率29计算方法•不同隐含波动率的简单平均•加权平均•选择股票价格等于执行价格的现值时的期权的隐含波动率•BrennerandSubrahmanyam,1988深入探索了，得出TσSc0)398.0(30波动率的期限结构•指具有一定执行价格、不同到期日的期权合约的隐含波动率的差额•波动率随着执行价格的变化而变化的模式一般称为波动率微笑曲线或者波动率偏斜曲线•波动率正确取值的不确定性是吸引投机者的原因之一•马克·吐温在Pudd’nheadWilson一书的谚语“相似的想法并不是最好，看法的差异才能使马赛运转起来”315.欧式二值期权定价公式•二值看涨期权价值•二值看跌期权价值)(2)(detTr)](1[2)(detTr326.B-S期权定价公式扩展•不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期的时间、无风险利率以及标的股票的波动率•如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由于股票期权没有分红的保护，因此不能直接利用B-S期权定价公式确定欧式期权的价值。解决这个问题的办法是：用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前分配的红利的现值作为股价代入到B-S公式中，从而得到欧式期权的价值33离散红利•D表示期权期限内红利在0时刻的现值•定理：在上述条件下，B-S公式扩展为：•其中，)()()(210dNXedNDScrTTTrXDSd)2(ln201Tdd1234标的资产支付连续红利的欧式期权定价•下述两种股票在T时刻的价格分布相同–当前股价为，支付连续红利，红利率为q–当前股价为，不支付红利•定价原则：在标的股票支付连续红利的欧式期权定价时，可以把它当作标的股票不支付红利的欧式期权，只要用替代当前股价0S0qTSe0qTSe35欧式股票期权——连续红利012()()qTrTcSeNdXeNd201()()rTqTpXeNdSeNd2012lnSrqTXdT21ddT367.股票指数期权与外汇期权连续红利的B-S定价公式可以直接用于股票指数期权与外汇期权的定价股票指数期权：第一笔指数期权合约产生于1983年3月11日，CBOE100种股票指数期权，标准普尔100种股票指数期权。占全部期权交易总量的18％，在CBOE，占其交易总量的1/3左右。受欢迎的原因有二，第一现金结算，第二作为整体市场的期权37欧式股票指数期权定价公式012()()qTrTcSeNdXeNd201()()rTqTpXeNdSeNd2012lnSrqTXdT21ddTq为指数的增长率38外汇期权•外汇期权于1982年引进费城证券交易所，到1999年12月为止，场外交易的名义价值为23000亿美元，合约市场价值总和约为600亿美元。•解释：一份2月份到期的、执行价为96的欧元买入期权，意味着持有该买入期权可以用0.96美元买进一欧元，合约价值是100000欧元，期权费每单位欧元1.27美分。•作业1，如果在到期日，即期汇率为1.10美元，如何计算收益？39加曼－科尔哈根外汇期权定价公式•GarmanandKohlagen,1983•例：即期汇率S＝97.05，X=96，欧元利率＝0.0352，美元利率＝0.0568，波动率＝0.045，期限＝0.0767，表示报价货币的利率。表示基础货币的利率，cecTrTrTrrrTσddTσTσrXesddNXedNescece12201210}2{)ln()()(26.1,8413.0)(,8438.0)(,1,012.12121cdNdNdd40期货期权——支付•期货期权的到期时间通常稍早于标得期货的到期时间•最活跃的期货期权–CBOT交易的中长期国债期货期权(美式)–CME交易的欧洲美元期货期权(美式)•买权–期货合约多头头寸+相当于期货最新结算价的现金-期权执行价–Max(F-X,0)，其中F表示期权执行时的期货价格•卖权–期货合约空头头寸-相当于期货最新结算价的现金+期权执行价–Max(X-F,0)，其中F