排列组合一轮复习学案

张家口市第一中学高二数学学案一轮复习之排列组合主备人：李春红张昌云善于总结，养成习惯第一节：计数原理基础梳理一、计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有1m种不同的方法，在第二类方案中有2m种不同的方法，……，在第n类方案中有nm种不同的方法，则完成这件事，共有N＝v种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有1m种不同的方法，完成第二步有2m种不同的方法，……，完成第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有N＝nmmm21种不同的方法．二、两种计数原理的区别两个原理的区别在于“分类”与“分步”，完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一个方法都能单独完成这件事，则用加法计数原理．若完成这件事需分为n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次全都完成后，这件事才算完成，那么完成这件事的方法总数用乘法计数原理．自我检测1．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有(C)A．238个B．232个C．174个D．168个2．若y＝f(x)是定义域为A＝{x|1≤x≤7，x∈N*}，值域为B＝{0,1}的函数，则这样的函数共有（B）A．128个B．126个C．14个D．12个3．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（B）A．96B．84C．60D．484．某电子元件，是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有__15______种．例题讲解题型一、分类加法计数原理的应用【例1】在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？解：方法一：(1)当个位数字为0时，十位数字可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，有9个满足条件的两位数；(2)当个位数字为1时，十位数字可以是2,3,4,5,6,7,8,9，有8位满足条件的两位数；(3)当个位数字为2时，十位数字可以是3,4,5,6,7,8,9，有7个满足条件的两位数；以此类推，当个位数字分别是3,4,5,6,7,8,9时，满足条件的两位数分别有6,5,4,3,2,1,0个．由分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＋0＝45个．方法二：考虑两位数“ab”与“ba”中，个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想计算．所有90个两位数中，个位数字等于十位数字的两位数为11,22,33，…，99共9个；另有10,20,30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置；其余90－18＝72个两位数，按“ab”与“ba”进行一一对应，则每一个“个位数字小于十位数字的两位数”就与另一个“十位数字小于个位数字的两位数”对应，故其中“个位数字小于十位数字的两位数”有72÷2＝36个．故满足条件的两位数的个数为9＋36＝45个．1.同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡片，有____50____种不同的取法．题型二、分步乘法计数原理的应用【例2】由数字1,2,3,4(1)可组成多少个3位数；(2)可组成多少个没有重复数字的3位数；(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字．解：(1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共有4种排法，根据分步计数原理共可组成34＝64个3位数．(2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2种排法，由分步计数原理共可排成没有重复数字的3位数4×3×2＝24(个)．(3)排出的三位数分别是432、431、421、321共4个．2．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少种？解：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．获得冠军的可能情况有5×5×5×5＝54(种)．张家口市第一中学高二数学学案一轮复习之排列组合主备人：李春红张昌云善于总结，养成习惯题型三、两类计数原理的综合应用【例3】某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告，2个不同的世博会宣传广告、1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放，2个世博会宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？（108）3.(2010·湖南理，7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(B)A．10B．11C．12D．15解析：若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C34；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C24，由分类计数原理满足条件的信息个数为1＋C34＋C24＝11.题型四、涂色问题【例4】如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？解：解法一：如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂A有5种涂法；涂B有4种方法；涂C有3种方法；涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)．根据分步计数原理共有5×4×3×3＝180种涂色方法．解法二：由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有A＝60种涂法；又D与B、C相邻、因此D有3种涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180种涂法．4．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．解：方法一：以S、A、B、C、D顺序分步染色．第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420种．方法二：按所用颜色种数分类．第一类，5种颜色全用，共有55A种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×45A种不同的方法；第三类，只有3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有35A种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为55A＋2×45A＋35A＝420种．课后练习1.在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？（B）A.45B.36C.42D.352.已知4,24,31,7,3,2yx，则yx可表示不同的值的个数是（D）A.2B.3C.6D.93.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一个人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（B）A.24种B.36种C.48种D.72种4.从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（B）A.300种B.240种C.144种D.96种张家口市第一中学高二数学学案一轮复习之排列组合主备人：李春红张昌云善于总结，养成习惯第二节：排列组合及其应用基础梳理一、排列1、排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2、排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示．3、排列数公式：mnA＝)1()1(mnnn4、全排列数公式：nnA＝n(n－1)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)，规定：10！二、组合1、组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2、组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号mnC表示．3、组合数公式：mmmnmnAAC＝!)1()1(mmnnn＝)!(!!mnmn(n，m∈N*，且m≤n)．特别0Cn＝14、组合数的性质：①mnnmnCC；②11CmnmnmnCC5、几个常用的恒等式：（1）knkkkkkkkCCC21C=11Ckkn（2）11knknnCkC（3）!)!1(!nnnn自我检测1．8名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有(B)A．360种B．4320种C．720种D．2160种2．高三(一)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(B)A.1800种B.3600种C.4320种D.5040种3.某班级从A、B、C、D、E、F六名学生中选4人参加4×100米接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有(B)A．24种B．36种C．48种D．72种4．如图，将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有(B)A.6种B.12种C.24种D.48种5．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是__20______．(用数字作答)例题讲解题型一、排列数、组合数公式的应用【例1】解下列方程（1）3412140AxxA（2）2211113CxxxxxxxxCCC1.（1）若89A557nnnAA，求n的值（2）证明：1-m1-nCCmnmn张家口市第一中学高二数学学案一轮复习之排列组合主备人：李春红张昌云善于总结，养成习惯题型二、排列问题【例2】六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；(6)甲、乙、丙三人顺序已定．解：(1)4425AA＝480；(2)5522AA＝240；(3)2544AA＝480；(4)332422AAA＝144；(5)4455662AAA＝504；(6)36A＝120.总结：（1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数（间接法）．(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法.2．用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)