逆向思维在数学论证中的作用与培养

摘要学习数学的过程是学思维的形成与发展的过程，数学教学需要培养学生的数学思维。逆向思维是从已有的习惯思路的反面去思考和分析问题，从而使问题得到解决的一种思维过程。本文先阐述逆向思维的重要性，再研究逆向思维的作用与培养，论证培养逆向思维是为了我们更好地运用逆向思维去摆脱思维定势，突破旧有思想框架，产生新思想，发现新知识的重要思维方式。Learningmathistolearntheprocessofthethinkingprocessoftheformationanddevelopmentofmathematicsteachingneedtocultivatethestudents'mathematicalthinking.Reversethinkingfromtheoppositeofhavethehabitofthinkingtothinkandanalyzeproblems,athoughtprocesssothattheissueisresolved.Thispaperfirstexpoundstheimportanceofreversethinking,andthenstudiestheroleofreversethinkingandcultivate,argumentistocultivatethereversethinkingwebetterusereversethinkingtogetridofthemindset,breakthroughtheoldideologicalframework,generatenewideas,findnewknowledgeofimportantwaysofthinking.关键词：逆向思维反证法反例法目录1.什么是逆向思维31.1、思维的分类31.2、详谈逆向思维31.3、逆向思维的具体表现32.逆向思维的重要性42.1逆向思维是一种重要的思考能力42.2逆向思维是一种重要的探究过程42.3逆向思维是一种重要的思维方法43.逆向思维在数学论证中的作用53.1逆向思维可以开拓学生的想象空间53.2逆向思维有利于加深学生基础知识的理解53.3逆向思维可以发现解题技巧，有利于培养学生的创造能力64.逆向思维在数学论证中的培养64.1从反证法的论证中培养逆向思维64.2通过构造反例来训练学生的逆向思维84.3通过分析法来培养学生的逆向思维94.4利用“逆向变式”训练培养学生的逆向思维10结论11参考文献12致谢12数学是思维创新的体操，是一门使人聪明的学问.思维是智力的核心，是人的理性认识的过程。逆向思维是逆着习惯的、常规的思维方向进行的思维活动，属于创造性思维。许多情况下将问题倒过来想一想，在思维过程中“反其道而行之”，能使人得到许多通常思路所得不到的思维成果。1、什么是逆向思维.1.1、思维的分类根据思维过程的指向性，可将思维分为常规思维（正向思维）和逆向思维，正向思维是指思维活动按照事物发展的方向进行，而逆向思维是指思维活动从一个方向转向相反方向.1.2、详谈逆向思维逆向思维又被称为反向思维，它是发散思维的一种重要形式.逆向思维是从已有的习惯思路的反面去思考和分析问题，从而使问题得到解决的一种思维过程.是摆脱思维定势，突破旧有思想框架，产生新思想，发现新知识的重要思维方式.我们在学习数学和解决数学问题的过程中，也都有一些比较自然的习惯，例如在公式的运用中，我们习惯性地会从左往右正用，而不是从右往左逆用，这样的习惯虽然正确，但正是由于这样的习惯的影响，有时会使我们运作单调，思维固化.1.3、逆向思维的具体表现中学数学课本中的逆运算、反证法、反例法、分析法、充要条件等都涉及到思维的逆向性，在数学论证中，通常是从已知到结论的思维方式，然而有些问题总是按照这种思维定式解答则比较困难，而且常常伴随有较大的运算量，有时甚至无法解决，在这种情况下，只要我们多注意定理、公式、规律性例题的逆用，正难则反，往往可以使问题简化，经常性注意这方面的训练可以培养学生思维的敏捷性.例如从“一组平行且相等的四边形是平行四边形”中我们可以反过来想，平行四边形还有什么性质？或者还有什么性质可以证明一个四边形是平行四边形？再例如，当直线的倾斜角是锐角时，直线的斜率是正数，那我们会问，如果直线斜率为负数或零时，直线的倾斜角会是什么角？还有，一些定义或概念之间也会体现着逆向思维，例如函数与反函数：指数函数y=ax的反函数是对数函数y=㏒ax.2、逆向思维的重要性.2.1、逆向思维是一种重要的思考能力.运用逆向思维去思考和处理问题，实际上就是以“出奇”去达到“制胜”。对于全面人才的创造能力及解决问题能力具有非常重大的意义。在实践中使用这一方法，可能取得惊人的效果。因为逆向思维的训练可以排除顺向思维中的困难,并且能够培养学生的创造性,挖掘学生思维的潜能,使看似简单的习题,却能给学生带来深刻的思考。2.2、逆向思维是一种重要的探究过程.逆向思维从反面观察问题，打破心理学上的心理定势现象，冲破习惯思维的束缚，在与原来认识方向相反的方向上寻找解决办法的新方法，有时会产生意想不到的良好效果或获得新的发明和创造.例1设3a-b是2的倍数，求证：3a2+2ab-b2能被2整除分析：设法从3a2+2ab-b2中先找出3a-b的因式，再证另一个因式也是2的倍数.原式=(3a-b)(a+b)，至此可以看出求证式已有一个能被2整除的因式3a-b，只需再证另一个因式a+b也能被2整除即可.由于a+b=(3a-b)-2(a-b)，而3a-b是2的倍数，2(a-b)也是2的倍数，故a+b能被2整除，因此，本题得证.2.3、逆向思维是一种重要的思维方法.逆向思维作为数学中的一种重要的思维方法，它是在习惯性的思维方向上做完全相反的探索，在社会实践和学习的过程中，人们都有这样一个经验：当你对某一问题冥思苦想而不得其解时，不妨从它的反面去想一想，这样常使人茅塞顿开，获得意外的成功.例2：若实数a，b，c满足a-b=10，ab+c2+5=0，求证a+b+c=0分析：由a-b=10得a+(-b)=10由ab+c2+25=0得a(-b)=c2+25逆用韦达定理，可构造一个以a，-b为根的一元二次方程证：∵a-b=10，ab+c2+25=0∴a+(-b)=10，a(-b)=c2+25∴以a，-b为根的一元二次方程为x2-10x+(c2+25)=0∴△=（-10）2-4(c2+25)≥0∴-4c2≥0故c=0∴X2-10x+25=0，(x-5)2=0，x=5∴方程有相等的两个实数根∴a=-b，a+b=0，∴a+b+c=03、逆向思维在数学论证中的作用.3.1、逆向思维可以开拓学生的想象空间.在数学论证中，要重视逆向思维过程，加强思维能力训练比单纯地传授基本知识更重要.通过数学思维的恰当训练，逐步掌握数学思维方法与规律，是可以改变人的智力和能力，也可以培养学生的创新精神和创新意识.例3:已知：ab0,求证：-分析：此题由-可联想到以、为直角边作直角三角形.则斜边是,由三角形两边之差小于第三边可得-.3.2、逆向思维有利于加深学生基础知识的理解.在算术中，加法和减法、乘法和除法都是相互对立的，但在代数中，引进了负数和倒数的概念，例如：有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数a-b=a+(-b)，而一个数除以另一个数，等于被除数乘以除数的倒数a÷b=a×1／b.3.3、逆向思维可以发现解题技巧，有利于培养学生的创造能力.由于数学中的很多定理、公式、法则都具有可逆性,故从相反的角度来观察、探索、常常可以求得问题的解决或发现新的规律.我们对公式、法则、性质的逆向运用不习惯，缺乏应有的潜意识，思维定势在顺向应用上，所以应强调逆向运用.逆向思维可以发现解题技巧，有利于培养学生的创造能力。运用逆向思维，我们从乘法分配律就可以联想到提公因式法，提公因式法的理论依据是乘法分配律的相反过程即ma+mb=m(a+b).3.4、逆向思维有利于克服思维的迟滞性加强逆向思维的训练，可改变我们的思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向性，从而提高分析问题和解决问题的能力.我们的基础知识越扎实，以前知识对后学知识的负迁移作用越小，一般来说思维的逆向联系也比较容易建立，学习概念时容易较快掌握概念的本质；解题时容易产生解题的各种策略.例4：分解因式x3+6x-7解：把-7分裂成为两个负数之和，以便按正负搭配分为两组，得x3+6x-7=x3+6x-1-6=(x3-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+x+7)4、逆向思维在数学论证中的培养.4.1、从反证法的论证中培养逆向思维有些问题从正面入手比较复杂，不妨从反面入手.正难则反，直难曲进.有些问题如果按照常规方法证明，往往感觉无从下手，此时如果我们能及时改变思考角度，从问题的反面去考虑，或把问题倒过来想，常常会使问题简捷而快速地获解.反证法证明是从结论的反面出发，逻辑地推出矛盾，从而肯定原命题成立的证明方法，这也体现了逆向思维的思想.例5求证：3（1+a2+b4）≥(1+a+a2)2(a0)证：假设3（1+a2+a4）(1+a+a2)2则有3(1+a+a2)(1-a+a2)(1+a+a2)2由于当a0时，1-a+a20,所以得3(1-a+a2)1+a+a2整理得1-2a+a20∴(1-a)20这个不等式显然不能成立，它说明我们的假定是不正确的∴3（1+a2+b4）≥(1+a+a2)2在用反证法证题时，应当从命题的特点出发，选取恰当的推理方法.例6已知函数f(x)在R上是增函数，a、b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),求证：a+b≥0.分析：欲证上述命题，正向推理，题设条件不容易使用，转而逆向思考，利用反证法.证明：假设a+b0,则a-b，b-a.根据单调性知：f(a)f(-b),f(b)f(-a),∴f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),这与已知矛盾.∴a+b0不成立，即a+b≥0证明可利用的公理、定理较少或者难以与已知条件相沟通的命题，应考虑采用反证法.一般地，证明结论是否定形式的命题；证明结论是“唯一”或“必然”的命题；证明结论是“至少……”或“至多……”的命题；例7已知a、b为相交的两条直线，求证：a、b只有一个交点.证明：假定直线a与b不只有一个交点，则至少交于两点，设这两个交点为A与B,那么，直线a通过A、B两点，直线b也通过A、B两点.这就是说，经过A、B两点可以作两条直线a和b.这和公理“经过两点可以作一条直线，而且只可以作一条直线”相矛盾.产生矛盾的原因，是由于假定直线a与b不只有一点.假定既然不成立，则原题结论必成立.数学中矛盾的双方比比皆是，巧妙地运用逆向思维，可克服习惯思维的不足.当然，我们还可以找到更多更好的方法来培养逆向思维，例如反例法。4.2、通过构造反例来训练学生的逆向思维在数学这个领域中，肯定一个命题需要严格的逻辑推理证明，需要考虑全部可能和所以情形；然而要推翻一个命题的结论或否定一个命题，往往只需举出一个例子（符合题设的条件而与命题结论相矛盾的例子）予以否定，这种例子通常称为反例，因而举反例也是一种证明手段.举反例是与正向逻辑推理过程恰好是相反的，所以可通过举反例、构造反例来培养学生的逆向思维.重要的反例往往也会成为数学殿堂的基石.19世纪中叶，数学界长期认为连续函数除极个别点外总是处处可微的.1872年，数学家魏尔迈斯特拉斯却构造出一个极为精妙的反例：f(x)=∑bncos(anπx)，其中a为奇整数，0b1，且ab1+3π/2，此函数处处连续但处处不可微，从而推翻了流传很久的谬误.由此可见，举反例是一种极为重要的数学思想，也是一种证明方法.掌握各类反例，才能更好地掌握数学基础知识。对结论进行分析、推理，得到与结论有联系的命题（如结论的充分条件、必要条件、充要条件等）而在题设条件下，这些命题有明显的谬误.例8对边相等的空间四边形是平行四边形.分析：成为平行四边形的必要条件是首先为平面图形，而对边相等并不能保证该空间四边形是平