大学物理第六章-机械振动

第六章机械振动任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.机械振动物体在某一中心位置附近来回往复的运动.简谐运动最简单、最基本的振动.简谐运动复杂振动合成分解简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。§6-1简谐振动1.弹簧振子弹簧振子：连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体系统。简谐振动的特征及其表达式XOFFXOXO回复力：作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合外力,该力与位移成正比且反向。kxF简谐振动的动力学特征:据牛顿第二定律，得令运动学特征kxF,xmkmFamk2xdtxda2220222xdtxd或位移之解可写为：x或)i(0etAx0tAxcos简谐振动的运动学特征:物体的加速度与位移成正比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。速度加速度简谐振动的特征及其表达式0tAdtdxvsin0222tAdtxdacos0tAxcost简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系:42简谐振动的特征及其表达式xtvta0tAxcos2cossin00tAtAv0202coscostAtAa0tAxcos常量和的确定A0根据初始条件：时，,，得0xx0vv0t00cosAx00sinAv22020vxA000xvarctan在到之间，通常存在两个值，可根据进行取舍。000sinAv0sintAvcos0A2π0sin0Av2π0sin取0,0,0vxt已知求讨论xvo)2πcos(tAxAAxT2Tto00cosAx00sinAv6.2简谐振动的振幅、周期和相位(1)振幅:物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。由初始条件确定)cos(0tAx(2)周期和频率周期：物体作一次完全运动所经历的时间。频率：单位时间内物体所作完全运动的次数。21T22020vxA2T])(cos[0tTA22T角频率:物体在秒内所作的完全运动的次数。2对于弹簧振子，因有，得:mk,2kmTmk21利用上述关系式，得谐振动表达式：02cosTtAx02costAx)cos(0tAx2T21T(3)相位和初相简谐振动的振幅、周期、频率和相位)sin(0tAv)cos(02tAa)cos(0tAx1）存在一一对应的关系;),(vxtπ2~02）相位在内变化，质点无相同的运动状态；)(π2nn相差为整数质点运动状态全同.（周期性）相位：决定简谐运动状态的物理量。)(0t初相位：t=0时的相位。描述质点初始时刻的运动状态.0以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoxoAcos0Ax当时0t0xxoAttt)cos(tAx时6.3简谐振动的矢量表示法以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoxoAttt)cos(tAx时简谐振动的矢量图示法振动相位逆时针方向ωM点在x轴上投影(P点)的运动规律：的长度A旋转的角速度A旋转的方向A与参考方向x的夹角AXOMPxA0t振幅A振动圆频率)cos(0tAx简谐振动的矢量图示法Amv)2πcos(tAv)cos(2tAa2mAa2πtmvvxy0At)cos(tAxnaa用旋转矢量图画简谐运动的图tx讨论相位差：表示两个相位之差.用旋转矢量方便的比较简谐振动状态。AAx2AtoabxAA01）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间。)()(12tt12tttat3πTTt61π23πv2Abt二者的相位差为：简谐振动的振幅、周期、频率和相位)cos(111tAx)cos(222tAx12tt122）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.采用旋转矢量直观表示为：XO121A2A简谐振动的振幅、周期、频率和相位讨论:(a)当时,称两个振动为同相；k2XO1A2Axto0同步(b)当时,称两个振动为反相；)12(kXO1A2Atxoπ反相(d)当时,称第二个振动落后第一个振动。0(c)当时,称第二个振动超前第一个振动；0简谐振动的振幅、周期、频率和相位xto为其它超前落后XO121A2A速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。2简谐振动的振幅、周期、频率和相位相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在:)cos(0tAx200tvtvvmmcossin00tataammcoscos例6-1一物体沿X轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向X轴正向运动。求:(1)简谐振动表达式；(2)t=T/4时物体的位置、速度和加速度；(3)物体从x=-0.06m向X轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。解:(1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为：其中A=0.12m,T=2s,)(s21T初始条件：t=0,x0=0.06m,可得06.0cos12.0030据初始条件得,0sin00Av30简谐振动的矢量图示法)cos(tAx)cos(.3120txm在t=T/4=0.5s时，从前面所列的表达式可得简谐振动的矢量图示法)sin(.3120tdtdxv1sm)cos(.31202tdtdva2smmmx1040350120.).cos(.11180350120smsmv.).sin(.222031350120smsma.).cos(.(2)t=T/4时物体的位置、速度和加速度；)cos(.3120txm当x=-0.06m时，该时刻设为t1,得因该时刻速度为负，应舍去，设物体在t2时刻第一次回到平衡位置，相位是因此从x=-0.06m处第一次回到平衡位置的时间：另解：从t1时刻到t2时刻所对应的相差为：简谐振动的矢量图示法2131)cos(t343231,t34st11232332tst8312.sttt83012.653223st830.(3)物体从x=-0.06m向X轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。)cos(.3120txm※几种常见的简谐振动(1)单摆重物所受合外力矩：据转动定律，得到很小时(小于)，可取5令,lg2有sinmglM!!sin5353sinmglMlgmlmglJMdtd222gmTOl0222dtd转角的表达式可写为：几种常见的简谐振动)cos(0tm0222dtdlgT22lg2(2)复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。OgmC刚体的质心为C,对过O点的转轴的转动惯量为J,O、C两点间距离的距离为l。所受合外力矩：sinmglM令据转动定律，得若角度较小时几种常见的简谐振动sindd22mgltJmgltJ22ddJmgl20222tddmglJT22例6-2一质量为m的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。解:船静止时浮力与重力平衡，mghSgOyPPy在任一位置时船的位移用y表示。几种常见的简谐振动船的位移为y时船所受合力为：SgymgSgyhf)(船在竖直方向作简谐振动。其角频率和周期为:mSggSmT22因,ShmghT2得:几种常见的简谐振动Sgyf6.4简谐振子的能量动能势能以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。系统总的机械能：)(sin022222121tAmmvEK)(cos02222121tkAkxEPPKEEE)(cos)(sin02202222121tkAtAmPKEEE考虑到，系统总能量为，表明简谐振动的机械能守恒。221kAEmk2简谐振动的能量能量平均值上述结果对任一谐振系统均成立。20022241211kAttAmTETKd)(sin2002241211kAttkATETPd)(cos2EEEPK谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:tAxcos221kAEPEkEE简谐振动的能量ttOOx恒量212122Ekxmv0dtdxkxdtdvmvt求导等式两边对022kxvdtxdmv即022xmkdtxd§6-5简谐振动的合成1.同方向同频率的两个简谐振动的合成设一质点同时参与沿同一方向(x轴)的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：)cos(111tAx)cos(222tAx合位移：)cos(21tAxxx)cos(212212221AAAAA合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。22112211coscossinsintgAAAA矢量沿X轴之投影表征了合运动的规律。旋转矢量图示法同方向同频率的两个简谐振动的合成21AAAX1A2A212x1xxOAω同方向同频率的两个简谐振动的合成(1)当212k(k=0及正负整数)，cos(2-1)=1,有同相迭加，合振幅最大。讨论：同方向同频率的两个简谐振动的合成)cos(212212221AAAAAX2A1AOxxtooπ212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT21AAA(2)当21(2k+1)(k=0及正负整数),cos(2-1)=0,有反相迭加，合振幅最小。当A1=A2时，A=0。同方向同频率的两个简谐振动的合成X2A1AO21AAAxxtoo21AAA2T2A21AA)cos(212212221AAAAA同方向同频率的两个简谐振动的合成(3)通常情况下，合振幅介于和之间。21AA21AA·一般情况2121AAAAA21AAA·相位差·相位差21AAAπ212k)10(，，k相互加强相互削弱π)12(12k)10(，，k2.同方向不同频率的两个简谐振动的合成两个简谐振动合成得：当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随时间变化。两个简谐振动的频率和很接近，且1212)2cos()2cos(201212ttAxx=x1+x2)cos(),cos(022011tAxtAx同方向不同频率的两