2020年深圳市普通高中高三年级三月线上统一测试数学(理科)试题参考答案及评分细则(一模)【高清版】

深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第1页共16页深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试理科数学试题答案及评分参考一、选择题1.B2.B3.C4.A5.C6.D7.B8.A9.D10.B11.D12.C12.解析：当πππ462时，即83时，max()13fx，解得3；当πππ462时，即803时，maxππ()sin()463fx，令ππ()sin()46g，()3h，如图，易知()yg，()yh的图象有两个交点11(,)Ay，22(,)By，所以方程ππsin()463有两个实根12，，又888()1()393gh，所以易知有1283，所以此时存在一个实数1满足题设，综上所述，存在两个正实数满足题设，故应选C.二、填空题：13.314.6315.41516.4316.解析：由对称性不妨设mn，易知线段MN所在直线的方程为12yx，又21122xxx，点P必定不在曲线C上，不妨设1(,)2Ptt，()mtn，且过点P的直线l与曲线C相切于点20001(,)2Qxxx，易知0|xxPQyk，即2000011()()221xxtxxt，整理得200210xtx，（法一）显然00x，所以0012txx，令1()fxxx，[1,0)(0,3]xU，绝密★启封并使用完毕前试题类型：A深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第2页共16页如图，直线2yt和函数()yfx的图象有两个交点，又(1)0f，且8(3)3f，8023t，即403t，403mn，||mn的最大值为43，故应填43．（法二）由题意可知013x，令2()21fxxtx，函数()fx在区间[1,3]上有两个零点，则2(1)20(3)86013440ftftttV，解得403t，403mn，||mn的最大值为43，故应填43．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，222+2abcS.（1）求cosC；（2）若cossinaBbAc，5a，求b.解：（1）2221=sin22SabCabcS，，222sinabcabC，…………………………………………………………………2分在△ABC中，由余弦定理得222sinsincos222abcabCCCabab，sin=2cosCC，…………………………………………………………………………4分又22sin+cosC=1C，255cosC=1cosC=5，，由于(0,π)C，则sin0C，那么cosC0，所以5cosC=5.………………………6分（2）（法一）在△ABC中，由正弦定理得sincossinsinsinABBAC，……………7分sinsin[π()]sin()sincoscossinCABABABAB，………………………8分sincossinsinsincoscossinABBAABAB，即sinsincossinBAAB，深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第3页共16页又,(0,π)AB，sin0B，sin=cosAA，得4A.……………………………9分sinsin[π()]sin()BACAC，……………………………………………10分25225310sinsincoscossin252510BACAC，………………11分在△ABC中，由正弦定理得3105sin103sin22aBbA.……………………………12分（法二）cossinaBbAc，又coscosaBbAc，cossincoscosaBbAaBbA，…………………………………………………8分即sincosAA，又(0,π)A，π4A.……………………………………………9分在△ABC中，由正弦定理得255sin522sin22aCcA.………………………10分coscosbCAaC，25225325c.………………………………………………………12分（法三）求A同法一或法二在△ABC中，由正弦定理得255sin522sin22aCcA，………………………10分又由余弦定理2222coscababC，得2230bb，解得1b或3b.所以3b.……………………………………………………………………………12分（余弦定理2222cosabcbA，得2430bb，解得1b或3b.因为当1b时，222+-20abc，不满足cosC0(不满足222+22abcS)，故舍去，所以3b）【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题，检验学生的数学知识运用能力.深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第4页共16页EGMDN1D1C1B1ACBAGEMDN1D1C1B1ACBAMDN1D1C1B1ACBA（第18题图）18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在棱1CC，1AA上，且12CMMC，12ANNA.（1）求证：1//NC平面BMD；（2）若1322AAABAD，，π3DAB，求二面角NBDM的正弦值.解：（1）证明：（法一）如图，连接AC交BD于点G，连接MG．设1CM的中点为E，连接AE．………2分,GM是在△ACE边,CACE的中点，//MGAE，……………………………………3分又12CMMC，12ANNA，11//AACC，四边形1ANCE是平行四边形，故1//NCAE，1//NCGM，…………………………………4分GM平面BMD，1//NC平面BMD.…………………………………5分（法二）如图，设E是1BB上一点，且12BEBE，连接1EC.设G是BE的中点，连接GM.……………………1分11//BEMCBEMC，，四边形1BECM是平行四边形，故1//ECBM，……2分又BM平面BMD，1//EC平面BMD，…………………………………3分同理可证//NEAG，//AGDM，故//NEDM，深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第5页共16页MDN1D1C1B1ACBA//NE平面BMD，…………………………………4分又1ECNE，平面1NEC，且1NECEE，平面1//NEC平面BMD，又1NC平面1NEC，所以1//NC平面BMD.……………5分（2）（法一）设二面角NBDM为，二面角NBDA为，根据对称性，二面角MBDC的大小与二面角NBDA大小相等，故π2，sinsin(π2)sin2.下面只需求二面角MBDC的大小即可.………7分由余弦定理得2222cos3BDADABADABDAB，故222ABADBD，ADBD.……………………8分四棱柱1111ABCDABCD为直棱柱，1DD底面ABCD，1DDBD，……………………9分又1,ADDD平面11ADDA，1ADDDD，BD平面11BDDB，…………………………………10分ND平面11ADDA，NDBD，所以二面角NBDA的大小为NDA，即NDA，在RtNAD中，12sin22ANND，…………11分π4，π2，二面角NBDM的正弦值为1.…………………12分（法二）由余弦定理得2222cos3BDADABADABDAB，故222ABADBD，ADBD.……………………6分以D为坐标原点O，以1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系.深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第6页共16页zyxMDN1D1C1B1ACBA依题意有(0,0,0)D，(0,3,0)B，(1,3,1)M，(1,3,1)N，(0,3,0)DB，(1,3,1)DM，(1,3,1)DN，……7分设平面MBD的一个法向量为(,,)nxyz，00nDBnDM，3030yxyz，令1x，则1z，0y，(1,0,1)n，……………9分同理可得平面NBD的一个法向量为(1,0,1)m，……10分所以0cos,0||||22mnmnmn，……………11分所以二面角NBDM的大小为π2，正弦值为1.…12分【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力，考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19．（本小题满分12分）已知以F为焦点的抛物线2:2(0)Cypxp过点(1,2)P，直线l与C交于A，B两点，M为AB中点，且OMOPOFuuuruuuruuur.（1）当=3时，求点M的坐标；（2）当12OAOBuuruuur时，求直线l的方程.解：（1）因为(1,2)P在22ypx上，代入方程可得2p，所以C的方程为24yx，焦点为(1,0)F，…………………………………2分设00(,)Mxy，当=3时，由3OMOPOFuuuruuuruuur，可得(2,2)M，………………4分（2）（法一）设11(,)Axy，22(,)Bxy，00(,)Mxy，由OMOPOFuuuruuuruuur，可得00(1,2)(,0)xy，所以0=2y，所以l的斜率存在且斜率121212042=1yykxxyyy，……………7分可设l方程为yxb，联立24yxbyx得22(24)0xbxb，2244=16160bbb（2），可得1b，………………………………9分深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第7页共16页则1242xxb，212xxb，2121212()4yyxxbxxbb，所以21212=412OAOBxxyybbuuruuur，…………………………………11分解得6b，或2b（舍去），所以直线l的方程为6yx.……………………………………………12分（法二）设l的方程为xmyn，11(,)Axy，22(,)Bxy，00(,)Mxy，联立24xmynyx得2440ymyn，216160mn，………………6分则124yym，124yyn，21212()242xxmyynmn，所以2(2,2)Mmnm，…………………………………………………………7分由OMOPOFuuuruuuruuur，得2(21,22)(,0)mnm，所以1m，…………8分所以l的方程为xyn，由16160n可得，1n，……………………………………………9分由124yyn得221212()16yyxxn，所以21212=412OAOBxxyynnuuruuur，………………………………………11分解得6n，或2n（舍去），所以直线l的方程为6yx.………………………