深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题参考答案第1页共16页深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试理科数学试题答案及评分参考一、选择题1.B2.B3.C4.A5.C6.D7.B8.A9.D10.B11.D12.C12.解析:当πππ462时,即83时,max()13fx,解得3;当πππ462时,即803时,maxππ()sin()463fx,令ππ()sin()46g,()3h,如图,易知()yg,()yh的图象有两个交点11(,)Ay,22(,)By,所以方程ππsin()463有两个实根12,,又888()1()393gh,所以易知有1283,所以此时存在一个实数1满足题设,综上所述,存在两个正实数满足题设,故应选C.二、填空题:13.314.6315.41516.4316.解析:由对称性不妨设mn,易知线段MN所在直线的方程为12yx,又21122xxx,点P必定不在曲线C上,不妨设1(,)2Ptt,()mtn,且过点P的直线l与曲线C相切于点20001(,)2Qxxx,易知0|xxPQyk,即2000011()()221xxtxxt,整理得200210xtx,(法一)显然00x,所以0012txx,令1()fxxx,[1,0)(0,3]xU,绝密★启封并使用完毕前试题类型:A深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题参考答案第2页共16页如图,直线2yt和函数()yfx的图象有两个交点,又(1)0f,且8(3)3f,8023t,即403t,403mn,||mn的最大值为43,故应填43.(法二)由题意可知013x,令2()21fxxtx,函数()fx在区间[1,3]上有两个零点,则2(1)20(3)86013440ftftttV,解得403t,403mn,||mn的最大值为43,故应填43.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,222+2abcS.(1)求cosC;(2)若cossinaBbAc,5a,求b.解:(1)2221=sin22SabCabcS,,222sinabcabC,…………………………………………………………………2分在△ABC中,由余弦定理得222sinsincos222abcabCCCabab,sin=2cosCC,…………………………………………………………………………4分又22sin+cosC=1C,255cosC=1cosC=5,,由于(0,π)C,则sin0C,那么cosC0,所以5cosC=5.………………………6分(2)(法一)在△ABC中,由正弦定理得sincossinsinsinABBAC,……………7分sinsin[π()]sin()sincoscossinCABABABAB,………………………8分sincossinsinsincoscossinABBAABAB,即sinsincossinBAAB,深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题参考答案第3页共16页又,(0,π)AB,sin0B,sin=cosAA,得4A.……………………………9分sinsin[π()]sin()BACAC,……………………………………………10分25225310sinsincoscossin252510BACAC,………………11分在△ABC中,由正弦定理得3105sin103sin22aBbA.……………………………12分(法二)cossinaBbAc,又coscosaBbAc,cossincoscosaBbAaBbA,…………………………………………………8分即sincosAA,又(0,π)A,π4A.……………………………………………9分在△ABC中,由正弦定理得255sin522sin22aCcA.………………………10分coscosbCAaC,25225325c.………………………………………………………12分(法三)求A同法一或法二在△ABC中,由正弦定理得255sin522sin22aCcA,………………………10分又由余弦定理2222coscababC,得2230bb,解得1b或3b.所以3b.……………………………………………………………………………12分(余弦定理2222cosabcbA,得2430bb,解得1b或3b.因为当1b时,222+-20abc,不满足cosC0(不满足222+22abcS),故舍去,所以3b)【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质,考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题,检验学生的数学知识运用能力.深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题参考答案第4页共16页EGMDN1D1C1B1ACBAGEMDN1D1C1B1ACBAMDN1D1C1B1ACBA(第18题图)18.(本小题满分12分)如图,在直四棱柱1111ABCDABCD中,底面ABCD是平行四边形,点M,N分别在棱1CC,1AA上,且12CMMC,12ANNA.(1)求证:1//NC平面BMD;(2)若1322AAABAD,,π3DAB,求二面角NBDM的正弦值.解:(1)证明:(法一)如图,连接AC交BD于点G,连接MG.设1CM的中点为E,连接AE.………2分,GM是在△ACE边,CACE的中点,//MGAE,……………………………………3分又12CMMC,12ANNA,11//AACC,四边形1ANCE是平行四边形,故1//NCAE,1//NCGM,…………………………………4分GM平面BMD,1//NC平面BMD.…………………………………5分(法二)如图,设E是1BB上一点,且12BEBE,连接1EC.设G是BE的中点,连接GM.……………………1分11//BEMCBEMC,,四边形1BECM是平行四边形,故1//ECBM,……2分又BM平面BMD,1//EC平面BMD,…………………………………3分同理可证//NEAG,//AGDM,故//NEDM,深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题参考答案第5页共16页MDN1D1C1B1ACBA//NE平面BMD,…………………………………4分又1ECNE,平面1NEC,且1NECEE,平面1//NEC平面BMD,又1NC平面1NEC,所以1//NC平面BMD.……………5分(2)(法一)设二面角NBDM为,二面角NBDA为,根据对称性,二面角MBDC的大小与二面角NBDA大小相等,故π2,sinsin(π2)sin2.下面只需求二面角MBDC的大小即可.………7分由余弦定理得2222cos3BDADABADABDAB,故222ABADBD,ADBD.……………………8分四棱柱1111ABCDABCD为直棱柱,1DD底面ABCD,1DDBD,……………………9分又1,ADDD平面11ADDA,1ADDDD,BD平面11BDDB,…………………………………10分ND平面11ADDA,NDBD,所以二面角NBDA的大小为NDA,即NDA,在RtNAD中,12sin22ANND,…………11分π4,π2,二面角NBDM的正弦值为1.…………………12分(法二)由余弦定理得2222cos3BDADABADABDAB,故222ABADBD,ADBD.……………………6分以D为坐标原点O,以1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系.深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题参考答案第6页共16页zyxMDN1D1C1B1ACBA依题意有(0,0,0)D,(0,3,0)B,(1,3,1)M,(1,3,1)N,(0,3,0)DB,(1,3,1)DM,(1,3,1)DN,……7分设平面MBD的一个法向量为(,,)nxyz,00nDBnDM,3030yxyz,令1x,则1z,0y,(1,0,1)n,……………9分同理可得平面NBD的一个法向量为(1,0,1)m,……10分所以0cos,0||||22mnmnmn,……………11分所以二面角NBDM的大小为π2,正弦值为1.…12分【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识,考查空间想象能力,计算能力,考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19.(本小题满分12分)已知以F为焦点的抛物线2:2(0)Cypxp过点(1,2)P,直线l与C交于A,B两点,M为AB中点,且OMOPOFuuuruuuruuur.(1)当=3时,求点M的坐标;(2)当12OAOBuuruuur时,求直线l的方程.解:(1)因为(1,2)P在22ypx上,代入方程可得2p,所以C的方程为24yx,焦点为(1,0)F,…………………………………2分设00(,)Mxy,当=3时,由3OMOPOFuuuruuuruuur,可得(2,2)M,………………4分(2)(法一)设11(,)Axy,22(,)Bxy,00(,)Mxy,由OMOPOFuuuruuuruuur,可得00(1,2)(,0)xy,所以0=2y,所以l的斜率存在且斜率121212042=1yykxxyyy,……………7分可设l方程为yxb,联立24yxbyx得22(24)0xbxb,2244=16160bbb(2),可得1b,………………………………9分深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题参考答案第7页共16页则1242xxb,212xxb,2121212()4yyxxbxxbb,所以21212=412OAOBxxyybbuuruuur,…………………………………11分解得6b,或2b(舍去),所以直线l的方程为6yx.……………………………………………12分(法二)设l的方程为xmyn,11(,)Axy,22(,)Bxy,00(,)Mxy,联立24xmynyx得2440ymyn,216160mn,………………6分则124yym,124yyn,21212()242xxmyynmn,所以2(2,2)Mmnm,…………………………………………………………7分由OMOPOFuuuruuuruuur,得2(21,22)(,0)mnm,所以1m,…………8分所以l的方程为xyn,由16160n可得,1n,……………………………………………9分由124yyn得221212()16yyxxn,所以21212=412OAOBxxyynnuuruuur,………………………………………11分解得6n,或2n(舍去),所以直线l的方程为6yx.………………………