高中数学新课标典型例题-正态分布

借助于标准正态分布表求值例设服从)1,0(N，求下列各式的值：（1）);35.2(P（2）);24.1(P（3）).54.1(P分析：因为用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出)()(,0000xxPx的情形，故需要转化成小于非负值0x的概率，公式：);()()();(1)(abbaPxx和)(1)(00xPxP有其用武之地．解：（1）;0094.09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(PP（2）;1075.08925.01)24.1(1)24.1()24.1(P（3）)54.1()54.1()54.154.1()54.1(PP.8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用．求服从一般正态分布的概率例设服从)2,5.1(2N试求：（1）);5.3(P（2）);4(P（3）);2(P（4）).3(P分析：首先，应将一般正态分布)2,5.1(N转化成标准正态分布，利用结论：若),(~2N，则由)1,0(~N知：,)(xxP其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果．解：（1）;8413.0)1(25.15.3)5.3(P（2）;0030.0)75.2(1)75.2(25.14)4(P（3）;4013.0)25.0(125.121)2(1)2(PP（4）25.1325.131)2()3(PP)]25.2(1[7734.0)25.2()75.0(.7612.0)9878.01(7734.0说明：这里，一般正态分布),(~2N，总体小于x的概率值)(xF与)(xP和x是一样的表述，即：.)()(xxFxP服从正态分布的材料强度的概率例已知：从某批材料中任取一件时，取得的这件材料强度服从).18,200(2N（1）计算取得的这件材料的强度不低于180的概率．（2）如果所用的材料要求以99％的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求．分析：这是一个实问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题；本题的第二问是一个逆向式问法，只要把握实质反向求值即可．解：（1）1181201801)180(1)180(PP;8665.0)11.1()]11.1(1[1)11.1(（2）可以先求出：这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿这个结果与99％进行比较大小，从而得出结论．;9973.0)78.2()]78.2(1[1)78.2(1182001501)150(1)150(PP即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.73％＞99％，所以这批材料符合所提要求．说明：“不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于”．转化“小于”后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表．公共汽车门的高度例若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计的，如果某地成年男子的身高)36,175(~N（单位：㎝），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？分析：实际应用问题，分析可知：求的是门的最低高度，可设其为)cm(x，使其总体在不低于x的概率值小于1％，即：%101.0)(xP，从中解出x的范围．解：设该地公共汽车门的高度应设计高为xcm，则根据题意可知：%1)(xP，由于)36,175(~N，所以，;01.061751)(1)(xxPxP也即：;99.06175x通过查表可知：;33.26175x解得：;98.188x即该地公共汽车门至少应设计为189cm高．说明：逆向思维和逆向查表，体现解决问题的灵活性．关键是理解题意和找出正确的数学表达式．学生成绩的正态分布例某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布．平均分为80，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？分析：要求80分至90分之间的人数，只要算出分数落在这个范围内的概率，然后乘以总人数即可，而计算这个概率，需要查标准正态分布表，所以应首先把这个正态总体化成标准正态总体．解：设x表示这个班的数学成绩，则x服从)10,80(2N设1080xZ则z服从标准正态分布)1,0(N．查标准正态分布表，得：5000.0)0(,8413.0)1(所以，3413.05000.08413.0)0()1()10()1080901080108080()9080(zpxpxp∴163824.163413.048．说明：这类问题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解，一般地，我们在解决正态总体的有关问题时均要首先转化成标准正态总体．