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第九章多元函数的微分法及其应用§1多元函数概念1、设.答案：2、求下列函数的定义域：(1)(2)3、求下列极限：(1)（0）(2)(0)§2偏导数1、设z=,验证证明：，2、求空间曲线在点（）处切线与x轴正向夹角()3、设,求(1)4、设u=(x2+yz3)3，求及.解:=3(x2+yz3)22x=6x(x2+yz3)2，=3(x2+yz3)2z3=3z3(x2+yz3)23(x2+yz3)23yz2=9yz2(x2+yz3)25、设，证明:6、设，求。解：7、设函数在点处的偏导数存在，求§3全微分1、单选题（1）二元函数在点处连续是它在该点处偏导数存在的D.(A)必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件（2）对于二元函数，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是B。(A)偏导数不连续，则全微分必不存在（B）偏导数连续，则全微分必存在(C)全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：(1)设求dz解:(2)设函数(为常数且）求.解:；；；(3)解：3、设，求dz½(1,1)解:,4、设,求：5、讨论函数在(0,0)点处的连续性、偏导数、可微性。解：，所以在(0,0)点处连续。，所以可微。§4多元复合函数的求导法则１、设，求解：2、设，求3、设,，其中具有二阶连续偏导数，求。解：；4、设，其中具有二阶连续偏导数，求，，解：,,=,5、设，其中对各变元具有二阶连续偏导数，求。解：6、设，，证明：。证：；类似可求得；。所以。§5隐函数的求导公式1、设，求解：令，2、设是由方程确定，求。解：=3、设,其中可微。证明:解：;=+y=4、设，求，(，)5、设由方程所确定，可微，求解：令，则6、设函数是由方程所确定，求。解：ÞÞ7、设由方程所确定，证明：。证：；所以§6微分法在几何中的应用1、求螺旋线在对应于处的切线及法平面方程解：切线方程为法平面方程2、求曲线在（3，4，5）处的切线及法平面方程解：切线方程为，法平面方程：3、求曲面上点(1,1,1)处的切平面和法线方程。解：设，则；；。在点(1,1,1)处；；，所以法向量切平面方程是：，即；法线方程是：§7方向导数与梯度1、设函数，(1)求该函数在点(1,3)处的梯度。2)在点(1,3)处沿着方向的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向解：梯度为,方向导数达到最大值的方向为，方向导数达到最小值的方向为。2、求函数在(1,2,-1)处沿方向角为的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。解：方向导数为，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向，此时最大值为3、求函数在(1,1,-1)处沿曲线在(1,1,1)处的切线正方向(对应于增大的方向)的方向导数。解：，，所以该函数在点(1,1,-1)处的方向导数为。4、求函数在(1,1,-1)处的梯度。解：，§8多元函数的极值及求法1、求函数的极值。答案：（，）极小值点2、设函数由方程确定，求函数的驻点。解：设Þ驻点是(0,0)。3、求的极值。解：；。令=0,=0，得Þ=2；=-1；=1；在(1,0)点处=2，，=1，0,函数在(1,0)点处有极值，且由于A=20取极小值。4、求函数在条件下的条件极值。解：，极小值为5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。（长和宽2米，高3米）6、旋转抛物面被截成一椭圆，求原点到椭圆的最大与最小距离。解：设为椭圆上的点，原点到的距离为，且满足条件：,。设令得方程组：解得：，,,根据实际问题，最大距离和最小距离存在，所以为最小距离；为最大距离。7、在第一卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。解：椭球面上的点。设，则在点的切平面法向量是，切平面方程：切平面在轴上的截距是：；切平面在轴上的截距是：；切平面在轴上的截距是：；三坐标面与切平面所围的四面体的体积是：。要求体积的最小值，只要求在条件下的最大值即可。设：,,,令=0,=0,=0，并与条件联立解得由于根据实际情况，体积的最小值存在，且所求得驻点唯一，所以即为所求。第九章自测题一、选择题：（每题2分，共14分）1、设有二元函数则[B]A、存在；B、不存在；C、存在，且在(0,0)处不连续；D、存在，且在(0,0)处连续。2、函数在各一阶偏导数存在且连续是在连续的[B]A、必要条件；B、充分条件；C、充要条件；D、既非必要也非充分条件。3、函数在(0,0)点处[D]A、极限值为1；B、极限值为-1；C、连续；D、无极限。4、在处，存在是函数在该点可微分的[A]（A）必要条件；（B）充分条件；（C）充要条件；（D）既非必要亦非充分条件。5、点是函数的[B]（A）极小值点；（B）驻点但非极值点；（C）极大值点；（D）最大值点。6、曲面在点P(2,1,0)处的切平面方程是[C]（A）；（B）；（C）；（D）7、已知函数均有一阶连续偏导数，那么[B](A);(B);(C);(D)二、填空题：（每题３分，共18分）1、（0）２、设，则（）３、设则(0)４、设，则在点处的全微分dz=()。５、曲线在点处的切线方程为()６、曲线在点(1,1,1)处的切线方程为()三、计算题（每题6分）1、设，求的一阶偏导数。解：2、设，求的二阶偏导数。解：,,,,,3、设具有各二阶连续偏导数，求解：４、设求和。解：不存在，故不存在，同理，也不存在。当时，有5、设，求：。解：1+Þ6、设，且具有二阶连续偏导数，求：，，。解：，7、，求：。解：，，==四、试分解正数为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。解：设三个正数为，则，记，令则由解出。第十章重积分§1二重积分的概念与性质1、设D由圆求的值解：由于D的面积为,故=2、由二重积分的几何意义求二重积分的值其中D为：(解：=)3、设f(t)连续，则由平面z=0，柱面和曲面所围的立体的体积可用二重积分表示为（）4、设D为圆域若二重积分=，求a的值。解：=5、设D：，，比较与的大小关系解：在D上，,故§2二重积分的计算法1、设，其中D是由抛物线与直线y=x-4所围成的平面闭区域区域，则I=（A）A：B：C：D：2、设D是由不等式所确定的有界区域，则二重积分为（B）A：0B：C：D：13、设D是由直线x=0,y=2及y=x所围成的区域，则二重积分的值为（C）A：B：C：D：4、设f(x,y)是连续函数，则二次积分交换积分次序后为（D）ABCD5、设有界闭域D1、D2关于oy轴对称，f是域D=D1+D2上的连续函数，则二重积分为（A）ABCD6、设D1是由ox轴、oy轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f是域D:|x|+|y|≤1上的连续函数，则二重积分为（B）ABCD7、设f(x,y)为连续函数，则交换积分次序的结果为(C)ABCD8、设I=,交换积分次序后I为：(D)9、改变二次积分的次序：（=）10、求，其中由x=2,y=x,xy=1所围成.（)11、设D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},求的值解：=12、计算二重积分，其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}解：=13、计算二重积分，其中D是圆域解：=14、设I=,其中D是由x2+y2=Rx所围城的区域，求I（解：I=)15、计算二重积分，D：围成的闭区域（解：=）§3三重积分1、设是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则化为三次定积分的结果为(A)ABCD2、设是由曲面x2+y2=2z,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分表示为累次积分，则I=（B）ABCD3、设是由所确定的有界闭域，求三重积分解：先二后一法，==24、设是由曲面z=xy,y=x,x=1及z=0所围成的空间区域，求()5、设是球域：，求(利用偶倍奇零法。因函数关于z为奇函数，区域是球域关于xoy面对称，所以原式=0)6、计算其中为：平面z=2与曲面所围成的区域()7、计算其中是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所围成的闭区域(2/27))§4重积分的应用1、求由曲面=2x,=4x,y=x,y=0所围成的图形面积A2、求曲面包含在圆柱内部的那部分面积解：3、求圆柱体包含在抛物面和xoy平面之间那部分立体的体积解：4、曲面将球面分割成三部分，由上至下依次记这三部分曲面的面积为s1,s2,s3,求s1:s2:s3解：第十章自测题一、选择题:（40分）1、=(D)ABCD.2、设为,当(C)时,.A1BCD3、设,其中由所围成,则=(B).A;BCD.4、设是由三个坐标面与平面=1所围成的空间区域,则=(A).ABCD.5、设为连续函数，则(A).ABCD.6、计算,围成的立体,则正确的为(B)和（C）ABCD.7、曲面包含在圆柱内部的那部分面积(D)ABCD.二、计算下列二重积分:（20分）1、,其中是闭区域:(原式=)2、,其中是由直线及圆周,所围成的在第一象限内的闭区域.(原式)3、,其中是由围成的闭区域(原式)4、,其中:.()三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序:（15分）1、（）2、(=)3、(=)四、计算下列三重积分:（15分）1、其中是由平面上曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的区域。()2、:所围成的闭区域(原式)（或用球坐标计算，原式=)五、（5分）设为连续函数，且，其中D是由所围成的区域，求解：设，则六、（5分）设在上连续,试证:==第十一章曲线积分与曲面积分§1对弧长的曲线积分1、设关于轴对称，表示在轴上侧的部分，当关于是偶函数时，A.0B.C.D.ABC都不对2、设是以点为顶点的正方形边界,则=A.4B.2C.D.3、有物质沿曲线：分布，其线密度为，则它的质量A.B.C.D.4．求其中L为由所围区域的整个边界。解：5．其中L为双纽线。解：原积分=6．其中L为。原积分7．其中L为球面与平面的交线。解：将代入方程得于是L的参数方程：，又原积分=§2对坐标的曲线积分1.设关于轴对称，表示在轴上侧的部分，当关于是偶函数时，A.0B.C.D.ABC都不对2．设为的正向，则A.0B.4C.2D.-23．为的正向，A.2B.-2C.0D.4．，其中由曲线从到方向解：5．其中是正向圆周曲线解：由奇偶对称性，：6．其中为从点到的有向线段解：方程：，7、过和的曲线族，求曲线使沿该曲线从到的积分的值最小解：。最小，此时8、将积分化为对弧长的积分,其中L沿上半圆周解：，于是§3格林公式及其应用1.若是上半椭圆取顺时针方向,则=A.0B.C..D2.设为的正向，则A．2B.-2C.0D.3.设为曲线的正向，则A．9B.-18C.-9D.04.设是圆取逆时针方向，则解：将方程代入被积函数在由格林公式得5．其中为点到的抛物线的弧段解：因故积分与路径无关，取6．求，为(1)(2)正方形边界的正向解：(1)直接用格林公式=0(2)设为圆周：取逆时针方向，其参数方程原积分为所以7、验证在面上是某函数的全微分，求出解：，，8、设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，计算的值解：取路径：沿从到；再沿从到则或§4对面积的曲面积分1、计算曲面积分，其中是平面在第一卦限的部分解：2、求曲面积分，其中是界于平面z=0和z=H之间的圆柱面解：=23、求曲面积分，其中是锥面被柱面所截得的有限部分解：==§5对坐标的曲面积分1.设关于面对称反向，是在面的前侧部分，若关于为偶函数，则（）A.0B.C.D.ABC都不对2.设为球面取外侧,为其上半球面,则有（）A.B.C.D.03．其中由及三个坐标面所围成闭曲面的外侧4．其中为锥面被平面所截部分的外侧5.其中为被平面所截部分，其法向量与z轴成锐角6、用两类曲面积分之间的关系计算（1）求其中是柱面在部分，是的外法线的方向余弦（2）其中为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧=§6高斯公式1.设是抛物面介于及之间部分的下侧，求解：做补面：取上侧，则构成一个封闭曲面，取外侧，由高斯公式知：原式