2.3.4平面向量共线的坐标表示

§2.3.4平面向量共线的坐标表示1122(,),(,),axybxy1.已知12121212(,),(,)abxxyyabxxyy11(,)axy2.平面向量的坐标运算：1.向量共线充要条件:.,)0(//abaab使存在唯一实数复习回顾:),,(),,(.22112yxByxA若),(1212yyxxAB则注:向量坐标等于终点坐标减去起点坐标两个非零向量平行（共线）的充要条件1122,,,(0)axybxyb设当且仅当存在实数,使ba//ab即ba0//1221yxyxba注:（1）消去λ时不能两式相除（2）充要条件不能写成2211xyxy例2.已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的位置关系。.//,.ybayba，求，且，，已知例6241.//30624yyba　　　解：631512421311，，　　　，，解：ACAB.//ACAB，又04362.三点共线、、，有公共点、直线直线CBAAACAB【方法小结】利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．1.(2,1),(,1),2,2,//,.abxababxmumu==-=+=-已知向量且求的值2x=-2.(3,4),(cos,sin),//,tan.ababaaa==已知向量且求的值4tan3a=例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122(,),(,)xyxyxyOP1P2P(1)M1212121()2(,)22OPOPOPxxyy解：（1）所以，点P的坐标为1212(,)22xxyyxyOP1P2PxyOP1P2P..22115322212121PPPPPPPPPPP或有两种情况，即，的一个三等分点时，是线段，当点）如图（xyOP1P2P1121111212112121212121PPnPP=PP,21OP=0P+PP=0P+PP3121=0P+(0P-0P)=0P+OP3332x+x2y+y=(,)332x+x2y+yP(,)33若点靠近点有：点的坐标为∴（2）解法一：例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122(,),(,)xyxy解法二:xyOP1P2P121121111112212121212121111212Px,y11PP=PP,nPP=PP23PP=(x,y)-(x,y)=(x-x,y-y)11PP=(x-x,y-y)33x-xy-y=(,)33x-xy-y(x-x,y-y)=(,)332x+x2y+yx=,y=33点的坐标为若即解得点（）∴12122x+x2y+yP(,)33的坐标是121212PP=2PP,x+2xy+2yP(,)33则有：点的坐标是∴xyOP1P2P②若点P靠近P2点时直线l上两点、，在l上取不同于、的任一点P，则P点与的位置有哪几种情形？1P2P1P2P21PPP在之间21PP1P2PPP在的延长线上，21PP1P2PPP在的延长线上.12PP1P2PP存在一个实数λ，使，λ叫做点P分有向线段所成的比．21PPPP21PP能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定λ的取值范围吗？0101设，，P分所成的比为，如何求P点的坐标呢？),(111yxP),(222yxP21PP),(111yyxxPP　　),(),(2211yyxxyyxx　　),(222yyxxPP21PPPP)()(2121yyyyxxxx　　112121yyyxxx112121yyyxxx有向线段的定比分点坐标公式21PP有向线段的中点坐标公式21PP222121yyyxxx例4．已知两点，，求点分所成的比及y的值．)2,3(1P)3,8(2P),21(yP21PP解：由线段的定比分点坐标公式，得1321)8(321y2252175y解得1.向量平行(共线)等价条件的两种形式:(1)a//b(b0)a=lb;≠⇔(2)11221221a//b(a=(x,y),b=(x,y),b0)xy-xy=0≠⇔2.中点坐标公式;3.三点共线定理