2017中考二次函数专题(含答案)

11.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．2.在直角坐标系xoy中，(0,2)A、(1,0)B，将ABO经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，2若直线PC将ABC的面积分成1:3两部分，求此时点P的坐标；（3）现将ABO、BCD分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO与BCD重叠部分面积的最大值.3.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.⑴若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；⑶设点P为抛物线的图15.1CDOBAxy3对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y2bxax与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是第25题图4否存在点F，使FOE≌FCE，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，OPQ是等腰三角形．5.如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．56.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移6到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．7.如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的7坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过两点A（﹣1，1），B（2，2）．过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；（2）若抛物线上8存在点M，使得△BCM的面积为，求出点M的坐标；（3）连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标．1.【解答】解：（1）∵直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，9∴A（0，﹣3），∵B（﹣4，﹣5），∴，∴，∴抛物线解析式为y=x2+x﹣3，（2）存在，设P（m，m2+m﹣3），（m＜0），∴D（m，m﹣3），∴PD=|m2+4m|∵PD∥AO，∴当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，∴|m2+4m|=3，①当m2+4m=3时，∴m1=﹣2﹣，m2=﹣2+（舍），∴m2+m﹣3=﹣1﹣，∴P（﹣2﹣，﹣1﹣），②当m2+4m=﹣3时，∴m1=﹣1，m2=﹣3，Ⅰ、m1=﹣1，∴m2+m﹣3=﹣，∴P（﹣1，﹣），Ⅱ、m2=﹣3，∴m2+m﹣3=﹣，∴P（﹣3，﹣），∴点P的坐标为（﹣2﹣，﹣1﹣），（﹣1，﹣），（﹣3，﹣）．（3）如图，∵△PAM为等腰直角三角形，∴∠BAP=45°，∵直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45°所得，设直线AP解析式为y=kx﹣3，∵直线AB解析式为y=x﹣3，∴k==3，∴直线AP解析式为y=3x﹣3，联立，∴x1=0（舍）x2=﹣当x=﹣时，y=﹣，∴P（﹣，﹣）．2.解析：（1）∵(0,2)A、(1,0)B，将ABO经过旋转、平移变化得到如图4.1所示的BCD，∴2,1,90BDOACDOBBDCAOB.∴1,1C.…………………(1分)设经过A、B、C三点的抛物线解析式为2yaxbxc，则有012abcabcc，解得：31,,222abc.∴抛物线解析式为231222yxx.（2）如图4.1所示，设直线PC与AB交于点E.∵直线PC将ABC的面积分成1:3两部分，∴13AEBE或3AEBE，过E作EFOB于点F，则EF∥OA.∴BEF∽BAO,∴EFBEBFAOBABO.∴当13AEBE时，3241EFBF，∴33,24EFBF，∴13(,)42E.FEP图4.1yxOCDBA10设直线PC解析式为ymxn，则可求得其解析式为2755yx，∴2312722255xxx，∴122,15xx（舍去），∴1239(,)525P.当3AEBE时，同理可得2623(,)749P.（3）设ABO平移的距离为，111ABO与211BCD重叠部分的面积为S.可由已知求出11AB的解析式为22yxt，11AB与x轴交点坐标为2(,0)2t.12CB的解析式为1122yxt，12CB与y轴交点坐标为1(0,)2t.………(9分)①如图4.2所示，当305t时，111ABO与211BCD重叠部分为四边形.设11AB与x轴交于点M，12CB与y轴交于点N，11AB与12CB交于点Q，连结OQ.由221122yxtyxt，得43353txty，∴435(,)33ttQ.……………(10分)∴1251134()223223QMOQNOtttSSSt2131124tt.∴S的最大值为2552.②如图4.3所示，当3455t时，111ABO与211BCD重叠部分为直角三角形.设11AB与x轴交于点H，11AB与11CD交于点G.则(12,45)Gtt，12451222ttDHt，145DGt.∴21111451(45)(54)2224tSDHDGtt.∴当3455t时，S的最大值为14.综上所述，在此运动过程中ABO与BCD重叠部分面积的最大值为2552.3.（1）依题意，得1,20,3.baabcc解之，得1,2,3.abc∴抛物线解析式为322xxy．∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A（1，0），∴B（－3，0）．把B（－3，0）、C（0，3）分别直线y＝mx＋n，得GHA1O1B2图4.3yxOC1D1B1QNMA1B2D1C1Oxy图4.2B1O111PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10.解之,得t＝－2.②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2．解之，得t＝4．③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18．解之，得t1＝2173，t2＝2173．4.解答：（1）抛物线8y2bxax经过点A（－2，0），D（6，－8），88636082a4bab解得321ba抛物线的函数表达式为83212xxy12225321832122xxxy，抛物线的对称轴为直线3x．又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（－2，0）．点B的坐标为（8，0）设直线l的函数表达式为kxy．点D（6，－8）在直线l上，6k=－8，解得34k．直线l的函数表达式为xy34点E为直线l和抛物线对称轴的交点．点E的横坐标为3，纵坐标为4334，即点E的坐标为（3，－4）（2）抛物线上存在点F，使FOE≌FCE．点F的坐标为（4,173）或（4,173）．（3）解法一：分两种情况：①当OQOP时，OPQ是等腰三角形．点E的坐标为（3，－4），54322OE，过点E作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则OQOEOPOM，5OEOM点M的坐标为（0，－5）．设直线ME的表达式为51xky，4531k，解得311k，ME的函数表达式为531xy，令y=0，得0531x，解得x=15，点H的坐标为（15，0）又MH//PB，OHOBOMOP，即1585m，38m②当QPQO时，OPQ是等腰三角形．当x=0时，883212xxy，点C的坐标为（0，－8），5)48(322CE，OE=CE，21，又因为QPQO，31，32，CE//PB设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为82xky，4832k，解得342k，CE的函数表达式为834xy，令y=0，得0834x，6x，点N的坐标为（6，0）CN//PB，ONOBOCOP，688m，解得332m综上所述，当m的值为38或332时，OPQ是等腰三角形．13解法二：当x=0时，883212xxy，点C的坐标为（0，－8），点E的坐标为（3，－4），54322OE，5)48(322CE，OE=CE，21，设抛物线的对称轴交直线PB于点M，交x轴于点H．分两种情况：①当QPQO时，OPQ是等腰三角形．31，32，CE//PB又HM//y轴，四边形PMEC是平行四边形，mCPEM8，5384)8(4BHmmEMHEHM，HM//y轴，BHM∽BOP，BOBHOPHM332854mmm②当OQOP时，OPQ是等腰三角形．yEH//轴，OPQ∽EMQ，OPEMOQEQ，EMEQmmOPOEOQOEEQEM5)(5，)5(4mHM，yEH//轴，BHM∽BOP，BOBHOPHM38851mmm当m的值为38或332时，OPQ是等腰三角形．5.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∴OC=5．∵OC=5OB，∴OB=1，又点B在x轴的负半轴上，∴B（﹣