第8章-季节性时间序列模型

第8章季节性时间序列模型由于在日常生活中经常遇到季节性时间序列，因此我们为其单辟一章。在引入一些基本概念和常用模型之后，我们将自回归求和移动平均模型加以推广，用来描述季节时间序列。另外，为了说明该方法，我们还给出了详细例子。8.1基本概念许多商业和经济时间序列都包含有季节现象，即在一段时期后不断地对自身作有规律的重复。重复现象出现的最小时间间隔称为季节周期。例如，并吉林小玲的季度序列在夏季最高，序列在每年都重复这一现象，相应的季节周期为4。类似地，汽车的月度销量和销售额在每年7月和8月也趋于下降，因为这是经常更换新的车型。而玩具的月销售量在每年的12月增加。后两种情形的季节周期是12。季节现象源于一些因素，如气候影响许多商业和经济活动，如旅游和房屋建筑；一些习惯性事件，如圣诞节就与珠宝、玩具、贺卡及邮票的销售密切相关；夏季几个月的毕业典礼直接关系到这几个月的劳动力状况。作为说明的例子，图8-1给出了1971-1981年美国月度就业人数，调查对象是美国16-19周岁的男性。序列的季节特性是明显的，在夏季几个月人数急剧增加，在学期结束的6月出现高峰，而在秋季学校开学后就下降了。这种现象每12个月重现一次，因而季节周期是12。8.2传统方法通常，时间序列被看做由趋势项（Pt），季节项（St）以及不规则分量(et)混合而成。如果这些分量被假定为是可加的，可以将时间序列Zt写成Zt=Pt+St+et（8.2.1）为了估计这些分量，文献中引入了一些分解方法。8.2.1回归方法在回归方法中，可加性时间序列可以写成下面的回归模型Zt=Pt+St+et=011kmiitjjttijUVe（8.2.2）其中01mtiitiPU，Uit是趋势-循环变量；St=1kjjtjV和jtV是季节变量。例如，线性的趋势-循环分量Pt可以写成01tPt（8.2.3）更一般地，循环-趋势分量可以写成关于时间的m次多项式：01mitiiPt（8.2.4）类似地，季节分量St可以表示为季节虚拟（示性）变量的线性组合，或表示成各种频率正弦-余弦函数的线性组合。例如，一个周期为s的季节序列可以写成11stjjtjSD（8.2.5）其中，如果t对应于季节的第j期，有jtD=1，对于其他情况就为0；注意，当季节周期为s时，我们只需要（s-1）个季节虚拟变量。换言之，令0s使得系数s（其中，js）表示在周期为s时第j期的季节影响。另一方面，St也可以写成/2122sin()cos()stjjjjtjtSss（8.2.6）其中，[s/2]是s/2的整数部分。这类模型将在第11章讨论。于是，模型（8.2.2）成为1011msitijjttijZtDe（8.2.7）或者/201122sin()cos()smitijjtijjtjtZtess（8.2.8）对于给定数据集和特定的m和s的值，可用标准最小二乘回归方法得到参数i，j和j的估计值i，j和j。Pt，St，和方程（8.2.7）中的et的估计值可由下式给出：01mitiiPt（8.2.9a）11stjjtjSD（8.2.9b）和tttteZPS（8.2.9c）对于方程（8.2.8）可由下式给出01mitiiPt（8.2.10a）/2122sin()cos()stjjjjtjtSss（8.2.10b）和tttteZPS（8.2.10c）8.2.2移动平均方法移动平均方法基于这样的假定：一个季节时间序列的年度总和中只有少量的季节变量，因此，令tTtNPe为序列的非季节变量，而非季节变量的估计可以用对称移动平均算子得到，即mtitiimNZ（8.2.11）其中，m为一正数，为常数，且有ii以及1miim。季节分量的估计可由原序列减去tN得到，即tttSZN（8.2.12）前面的估计可以通过重复各种移动平均算子得到。利用移动平均方法的成功例子是人口普查局X-12方法，该方法被政府和工业企业广泛地采用。被消除了季节影响的序列，即ttZS，称为季节调整序列。因此，前述季节分解方法也是熟知的季节调整方法。人们普遍认为季节分量是有规律的特征，能够以合理的精度进行预报，所以政府和产业对于调整序列的季节性有着很大的兴趣。这一专题在这里只是简要的论及，感兴趣的读者可以参考由Zellner（1978）编辑的优秀的论文集。有关该专题最新的文章，主要有Dagum（1980），Pierce（1980），Hillmer和Tiao（1982），Bell和Hillmer（1984），以及Cupingood和Wei（1986）。8.3季节性ARIMA模型8.2节给出的传统方法基于季节分量是确定性的，且与其他非季节分量相独立。然而，许多时间序列并没有那么好的性质。更多的情况是季节分量可以是随机的，并且与非季节分量相关。本节我们将前一章讨论的ARIMA模型推广到季节时间序列。为了说明问题，我们考察美国1971-1981年16~19岁男性的月度就业统计数字，Buys-Ballot表在表8-2中给出。该表显示就业统计数字不仅月与月相关，而且年与年也相关。因此，为了对6月份的就业水平进行预报，我们不仅要考察相邻月份（如5月和7月）的就业水平，而且还要考察前几年6月份的就业水平。通常Buys-Ballot表意味着tZ包含周期内部和周期之间的相关关系。周期内部的关系表示…，Zt-2，Zt-1，Zt，Zt+1，Zt+2，…之间的相关性。周期之间相关关系表示…，Zt-2s，Zt-s，Zt，Zt+s，Zt+2s，…之间的相关性。假设我们不知道tZ包含周期之间的季节性变化，而对序列拟合一个非季节性的ARIMA模型，即()(1)()dptqtBBZBb（8.3.1）显然tb不是白噪声序列，因为它包含未被解释的周期（季节）之间的相关关系。令()2()()tjsbtbjsbEbb，j=1,2,3…（8.3.2）是tb的自相关函数，它描述了未解释的周期之间的相关关系。由此不难得到，周期之间的相关关系也能用ARIMA模型加以描述：()(1)()ssDsptQtBBbBa（8.3.3）其中212()1()sssPspPBBBB并且212()1()sssQsQQBBBB这些sB的多项式没有共同的根，且根都在单位圆之外，ta是0均值的白噪声过程。为了说明问题，假设式（8.3.3）中P=1，s=12，D=0，Q=0，则12(1)ttBba（8.3.4）若=0.9，tb的自相关函数成为(12)(0.9)jj，如图8-2所示。类似地，若P=0，s=12，D=0，Q=1，则有12(1)ttbBa（8.3.5）若=0.8，自相关函数成为(12)0.8,11.640,1jjj如图8-3所示。结合式（8.3.1）和式（8.3.3），我们可以得到著名的Box-Jenkins乘积季节ARIMA模型：()()(1)(1)()()sdsDspptqQtBBBBZBBa（8.3.6）其中,0,tttZdDZZother为方便起见，我们通常分别称()pB和()qB为常规的自回归和移动平均因子（或多项式），分别称()psB和()qsB为季节性自回归和移动平均因子（或多项式）。式（8.3.6）中的模型一般记为ARIMA（p,d,q）*（P,D,Q）s，其中下标s为季节周期。例8-1我们考虑ARIMA（0,1,1）*（0,1,1）12,模型1212(1)(1)(1)(1)ttBBZBBa（8.3.7）人们发现这个模型是非常有用的，它可以描述大量的季节时间序列，如航空数据，交易序列等。该模型由Box和Jenkins首先引入来描述国际航空旅客数据，因而在文献中也称其为航线模型。令12(1)(1)ttWBBZ,则tW的自协方差可以很容易地求出：22202212112212213(1)(1)(1)(1)aaaaa0j，其他（8.3.8）因此，ACF是12111322122(1)(1)(1)(1)0j，其他对于=0.4和=0.6时，k在图8-4给出。一般的ARIMA模型更一般地，我们可以写出一般的ARIMA模型如下：0111()1()iikdMKNsjttjikBBZBa（8.3.10）因此，该模型可以包含K个差分因子，M个自回归因子以及N个移动平均因子。这种推广对于描述许多非标准时间序列是非常有用的，例如，可以包含不同周期混合而成的季节现象。由于这是大多数时间序列软件使用的一般形式，因而我们现在更详细地解释这种一般模型。第i个差分因子是1iidsB具有阶数is（B的幂次）和次数id。如果K=0，则ttZZ，否则ttZZ，序列的均值不出现。参数0描述确定性趋势，当且仅当0K时才考虑。第j个自回归因子为212()(1)jjpjjjjpBBBB其中，包含一个或多个自回归参数jm。第k个移动平均因子是212()(1)kkqkkkkqBBBB包含一个或多个移动平均参数kn。在大多数应用中，K,M和N的值通常小于或等于2。在自回归和移动平均的参数中，除了考虑每种第一个因子的参数，其他参数都考虑为模型中的季节参数。显然我们可以用任意阶数的因子，如果需要的话，我们可以取每种的第一个因子作为“季节因子”。对于差分因子也完全类似。季节模型的PACF，IACF和ESACF季节模型的PACF和IACF更复杂。一般来说，季节和非季节的移动平均分量所产生的PACF和IACF在季节或非季节延迟点上指数衰减或阻尼正弦波动的。对于季节模型计算，ESACF非常费时，通常形式也很复杂。此外，由于ESACF所给出的知识关于p和q最大阶数的信息，在建立季节时间序列模型中它的用处非常有限。因此，在识别季节时间序列模型时标准的ACF分析仍是最有用的方法。对于季节模型的建模和预报由于季节模型是第3、4章中引入的ARIMA模型的特殊形式，因而有关模型识别、参数估计、诊断检验和预报都按照第5、6和7章的陈述，在这里就不再重复了。在下一节中，我们将针对几个季节时间序列来说明方法的具体应用。8.4实例例8-2本例给出来自于ARIMA（0,1,1）*（0,1,1）4模型的150个模拟值：44(1)(1)(1)(1)ttBBZBBa（8.4.1）这里=0.8，=0.6，是高斯型N(0,1)白噪声。该序列是列在附录中的序列W8。如图8-5所示，序列明显具有向上趋势的季节性。表8-3和图8-6给出序列的样本ACF和样本PACF。ACF的值很大且缓慢衰减，而PACF在延迟1处由单个的很大的峰值。这一切表明序列是非平稳的，必须进行差分。为了消除非平稳性，对序列做差分，计算出序列（1-B）Zt的样本ACF和样本PACF，如表8-4（a）和图8-7（a）所示。ACF在周期为4的多个季节点上缓慢衰减，这表明为了达到平稳性，季节差分（1-B4）也是需要的。因此，我们计算（1-B）（1-B4）Zt的样本ACF和样本PACF，并在表8-4（b）和图8-7（b）中给出。我们已经知道ARIMA（0,1,1）*（0,1,1）4模型的ACF除了在延迟1,3,4和5处以外其他皆为0。因此，在表8-4（b）和图8-7（b）中（1-B）（1-B4）Zt的样本ACF蕴涵着原序列Zt应是ARIMA（0,1,1）*（0,1,1）4模型，即44(1)(1)(1)(1)ttBBZBBa用参数估计方法对参数和