选修4-4-第一讲-坐标系(平面直角坐标系)

第一讲坐标系平面直角坐标系声响定位问题某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。(假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上).信息中心观测点观测点观测点PBACyxOyxBACPo以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A(1020,0),B(－1020,0),C(0,1020)设P（x,y）为巨响为生点，因A点比B点晚4s听到爆炸声，故|PA|－|PB|=340×4=1360由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，12222byax由双曲线定义P点在以A,B为焦点的双曲线上a=680,c=1020,b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.)0(134056802222xyx所以双曲线的方程为：用y=－x代入上式，得,5680,5680yx10680),5680,5680(POP故即答:巨响发生在信息中心的西偏北450,距中心m10680坐标法(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，注意以下原则：(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。(A)FBCEOyxA(0,0),B(c,0),F(c/2,0).解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ,边AB所在的直线x轴，建立直角坐标系，由已知，点A、B、F的坐标分别为所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.设C点坐标为(x,y)，则点E的坐标为(x/2,y/2)，由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2，即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]，CF=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0BE因为=(x/2-c,y/2)，CFBE所以=(c/2-x,-y)，(x/2-c,y/2)·(c/2-x,-y)因此，BE与CF互相垂直.。。MNOPXy2例2圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得PM=PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程。解：以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆的圆心坐标分别为O1(-2,0)，O2(2,0)，设P(x,y)1)2(22yx1)2(22yx则PM2=PO12-MO12=同理，PN2=1)2(22yx]1)2[(222yx,031222yxx,33)6(22yx平面直角坐标系中的伸缩变换思考：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x。xO2yyyxx21①上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点P’(x’,y’)，坐标对应关系为：我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?在正弦曲线上任取一点P(x,y),保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。xO2y上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P’(x’,y’),坐标对应关系为：yyxx3②我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2;怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?xyO在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y)经变换得到点为P’(x’,y’)，坐标对应关系为:yyxx321③。把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换'(0):'(0)xxyy设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:定义:的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩变换。上述①②③都是坐标伸缩变换，在它们的作用下,可以实现平面图形的伸缩。③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。②把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；0,0①例1在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换:后的图形。yyxx32(1)2x+3y=0;(2)x2+y2=1yyxx3121yyxx32解：(1)由伸缩变换得到代入2x+3y=0;；0yx得到经过伸缩变换后的图形的方程是19422yx得到经过伸缩变换后的图形的方程是yyxx3121(2)将代入x2+y2=1，)0(,)0(,yyxx：在伸缩变换下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆，那么椭圆可以变成圆吗？抛物线、双曲线变成什么曲线？练习：1求下列点经过伸缩变换yyxx3'2'后的点的坐标：①（1，2）；②（-2，-1）.yyxx21'31'36'9'422yx2曲线C经过伸缩变换后的曲线方程是则曲线C的方程是.yyxxA23'32'yyxxB32'23'xyyxC''1'1'yyxxD3将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（）0222xyx0'4'16'22xyx4曲线变成曲线的伸缩变换是.yyxx'2'yyxx2'2'122yx5在伸缩变换与伸缩变换的作用下，单位圆分别变成什么图形？6设M1是A1(x1,y1)与B1(x2,y2)的中点，经过伸缩变换后,它们分别为M2,A2,B2，求证：M2是A2B2的中点.7已知点A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知|BC|=4，点A到直线l的距离为3，求∆ABC的外心的轨迹方程。则A（0，3）B（x-2,0）C(x+2,0),以l为X轴，过定点A垂直于X轴的直线为Y轴建立直角坐标系，设∆ABC外心为P（x,y）,2650xy由|PA|=|PB|得8在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x’2+y’2=19在同一直角坐标系下，经过伸缩变换后,曲线C变为x’2－9y’2=1,求曲线C的方程并画出图形。yyxx3