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第四章四边形性质探索知识点归纳一．四边形的相关概念和性质（1）在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形．四边形用表示它的各顶点的字母来表示．注意：表示四边形必须按顶点的顺序书写，可按照顺时针或逆时针的顺序．如图读作“四边形ABCD”．（2）在四边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线．注意：①四边形共有两条对角线．②连结四边形的对角线也是一种常用的辅助线作法．（3）四边形的不稳定性：三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性．但是，四边形四边长确定后，它的形状不能确定．这就是四边形具有不稳定性，它在生产、生活方面有很多的应用．（4）四边形的内角和等于360．（5）四边形的外角和等于360．注意：1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角；3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角．二．多边形的概念和性质：（1）n边形的内角和等于180)2(n．（2）任意多边形的外角和等于360．（3）n边形共有2)3(nn条对角线．（4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。（5）正多边形的每个内角等于nn180).2(三、平行四边形．1．平行四边形的性质(1)平行四边形的邻角互补，对角相等．(2)平行四边形的对边平行且相等．(3)夹在两条平行线间的平行线段相等．(4)平行四边形的对角线互相平分．（5）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。(6)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积．2．平行四边形的判定(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．3．两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等．注意：(1)距离是指垂线段的长度，是正值．(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段位置改变．(3)平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置．4．平行四边形的面积（1）、平行四边形S底边长×高ah(a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离)．（2）、同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．四．矩形、1．矩形的定义：_________________________________2．矩形的性质：(1)对边平行且相等。(2)矩形的四个角都是直角．(3)矩形的对角线相等．(4)矩形是轴对称、中心对称图形．(5)矩形面积＝长×宽(6)矩形的周长=_________________注：①利用矩形的性质可以证明线段相等或倍分、直线平行、角相等等．②___________________________3．矩形的判定(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．[来源:Z_xx_k.Com]注意：①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．②用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．五．菱形1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．2．菱形的性质(1)具有平行四边形的一切性质．(2)菱形的四条边都相等．(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．(4)菱形是轴对称、中心对称图形．(5)菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半．(6)菱形的周长＝-__________________(7)菱形的计算转化为_____________三角形3．菱形的判定(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形．(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意：①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形．②利用菱形的性质及判定可以证明线段相等及倍分、角相等及倍分、直线平行、垂直，以及证明一个四边形是菱形和有关计算．六．正方形1．正方形的概念：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图：2．正方形的性质[来源:Zxxk.Com](1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等．(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴．(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形．(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等．(7)正方形的面积：若正方形的边长为a，对角线长为b，则222baS．3．正方形的判定(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．(2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形；②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)．七．梯形1．梯形的相关概念（1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．梯形中平行的两边叫做梯形的底．注意：通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形的上下底是以长短区分的，不是指位置说的．梯形中不平行的两边叫做梯形的腰．梯形两底的距离叫做梯形的高．两腰相等的梯形叫做等腰梯形．一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．（2）梯形一般如下分类：等腰梯形直角梯形特殊梯形一般梯形梯形（3）解决梯形问题的基本思路：梯形问题三角形或平行四边形问题．这种思路常通过平移或旋转来实现2．梯形的判定(1)定义法：判定四边形中①一组对边平行；②另一组对边不平行．[来源:学_科_网](2)有一组对边平行且不相等的四边形是梯形．注意：此判定可由梯形定义和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．[来源:学科网]3．等腰梯形的性质(1)等腰梯形两腰相等、两底平行．(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等．(3)等腰梯形的对角线相等．(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴．注意：等腰梯形在同一底上的两个角相等，不能说成：①等腰梯形两底上的角相等；②等腰梯形同一底上的两底角相等．转化分割、拼接4．等腰梯形的判定(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．(3)对角线相等的梯形是等腰梯形．5．梯形的面积S=（上底+下底）*高/2八．平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等．定理的作用：①可以证明同一条直线上的线段相等．②可以任意等分线段．注意：(1)定理中的“平行线组”是每相邻两条的距离都相等的特殊的平行线组．(2)定理中的“平行线组”是由三条或三条以上直线组成的．平行线等分线段定理的推论：推论1：经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰．推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边．它们的作用为：平分线段，求线段的中点或证明线段的倍分．这两个推论可简记为：“中点”+“平行”中点．九．三角形、梯形中位线1．三角形、梯形中位线的概念（1）连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．注意：①三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形．②要会区别三角形中线与中位线．（2）连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．2．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．（2）三角形中位线定理的作用：①位置关系：可以证明两条直线平行．②数量关系：可以证明线段的倍分关系．（3）任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半．[来源:学#科#网]结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形．结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分．结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等．3．梯形中位线（1）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．（2）梯形中位线定理的作用：①位置关系：可以证明三条直线平行．②数量关系：可以证明一条线段与另两条线段的倍分关系．4．梯形问题的常用辅助线①．延长两腰，构造三角形②．连对角线，把梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决③．平移一腰，把梯形转化成三角形和平行四边形（过梯形任一顶点作腰的平行线）④．平移对角线，把梯形转化成平行四边形和三角形（过任一顶点作对角线的平行线）⑤．作双高，把梯形转化成两个直角三角形和矩形（过一底两顶点作另一底的垂线）⑥．作中位线⑦．过一顶点和一腰中点作直线，把梯形转化为三角形问题⑧．过一腰中点平移另一腰，把梯形转化为平行四边形。