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以菱形为背景的最小值问题本文探究以菱形为背景的最小值问题．旨在通过对数学知识内在实质的追根溯源，突出解题的转化过程，培养学生的解题能力，促进学生的思维发展．一、菱形中的动点1．一个动点例1如图1，菱形ABCD中，∠BAD=60°，点M是AB的中点，点P是对角线AC上一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB的长为．解析如图2所示，B、D两点关于直线AC对称，连结DM交AC于点P，则．PM+PB=DM．根据两点间的线段最短，得AB=23．2．二个动点例2如图3，菱形ABCD中,AB=2，∠A=60°，点P，Q分别为线段AB，BC上的任意两点，且∠PDQ=60°，则PQ的最小值是。解析如图4所示，连结BD，可证得△ADP≌△BDQ．设AP=BQ=x，则有PB=2－x，PQ2=3(x－1)2+1．当x=1时，PQ有最小值为1．3．三个动点例3如图5，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为．解析由图6所示，作点P关于直线BD的对称点P1，过P1点作P1Q⊥CD，则P1Q为最短，故PK+QK的最小值为3．二、菱形中的动线例4如图7，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连结A'C，则A'C长度的最小值是.解析因为MA'是定值，故当A'C的长度最小时，点A'在MC上．过点M作MF⊥DC于点F，如图7．∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，∴CD=2，∠ADC=120°．∴∠FDM=60°，∠FMD=30°，∴FD=12MD=14AD=12，FM=MD·cos30°=32．∴MC=22FMCF=7．∴A'C=MC－MA'=MC－MA=7－1，三、菱形中的圆1．动点在一个圆上例5如图8，菱形ABCD，对角线AC和BD相交于点D，且AC=6，BD=8，⊙O的半径为1，点P是线段AD上一动点，过点P作⊙O的切线PQ，切点为Q，则切线PQ长的最小值是．解析PQ2=OP2－OQ2=OP2－1．只有当OP取到最小值时，PQ才达到最小值，故当OP⊥AD时，即OP=125时，PQ值最小，最小为1195．2．动点在二个圆上例6如图9，菱形ABCD中，∠A=60°。AB=3，⊙A、⊙D的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CB、⊙D和⊙A上的动点，则PE+PF的最小值是．解析由图10所示，连结PD，PA交⊙D和⊙A于E，F点，则PE+PF=PD+PA－3．这样，转化成一动点和两定点，而PD+PA的最小值为6，故PE+PF的最小值为3．总结上述以菱形为背景，以动点、动线和动点在圆上为载体，求这一类问题的最小值，解决这类问题的重要策略之一，就是化繁为简，提炼模型，概括出“基本图形”．那么上述这一类问题的“基本图形”是什么呢?其实质如图11、图12、图13三种基本模型：策略之二是合理想象，化动为静．把多动点中某一动点先看作静点，这样就能达到化动为静，化一般为特殊，从中寻找动点P的规律．当清楚P的规律后，再变成两个动点，一个定点，到最后为三个动点．在化动为静的过程中寻找规律，发现不变的数量关系和位置关系，从而达到解题的目的．策略之三是建立函数和方程模型．从问题中的已知量出发，去分析问题中变量之间的关系，然后建立方程或函数，从而突破难点，解决问题．