类型之一:证两线段相等1.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,E,F在对角线AC上,且AE=CF.求证:BE=DF.证明:连结BD交AC于点O,连结DE,BF.∵AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,OA=OC.∵AE=CF,∴OE=OF,∴四边形FBED是平行四边形,∴BE=DF.类型之二:证两线段互相平分2.如图,在平行四边形ABCD中,E,G,F,H分别是四条边上的点,且AE=CF,BG=DH.求证:EF与GH互相平分.证明:连结HE,EG,GF,FH.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AD=CB.∵BG=DH,∴AH=CG.又∵AE=CF,∴△HAE≌△GCF,∴HE=FG.同理可证HF=EG.∴四边形EGFH是平行四边形,∴EF与GH互相平分.类型之三:证两线段平行3.如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,E,F分别为OB,OD的中点,过点O任作一直线分别交AB,CD于点G,H.求证:GF∥EH.证明:连结GE,FH.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∠BAO=∠DCO.又∵∠AOG=∠COH,∴△AOG≌△COH,∴OG=OH.∵E,F分别为OB,OD的中点,∴OE=12OB=12OD=OF,∴四边形EHFG是平行四边形,∴GF∥EH.类型之四:证线段的和差关系4.如图,在四边形BCED中,DE∥BC,延长边BD,CE交于点A,在边BD上截取BF=AD,过点F作FG∥BC交EC于点G.求证:DE+FG=BC.证明:过点F作FM∥AC交BC于点,则四边形FMCG是平行四边形,∠BFM=∠A.∵DE∥BC,∴∠EDA=∠B.又BF=AD,∴△BFM≌△DAE,∴BM=DE.∵四边形FMCG是平行四边形,∴FG=MC,∴DE+FG=BM+MC=BC.类型之五:证线段的倍分关系5.如图,已知AB=AC,B是AD的中点,E是AB的中点.求证:CD=2CE.证明:延长CE至点F,使EF=CE,连结AF,BF.∵E是AB的中点,∴四边形AFBC是平行四边形,∴AC∥BF,AC=BF,∴∠CAB=∠FBA.又AB=AC=BD,∴BD=BF,∠BCA=∠ABC.∵∠DBC=∠BCA+∠CAB,∠FBC=∠FBA+∠ABC,∴∠DBC=∠FBC.又BC=BC,∴△DBC≌△FBC,∴CD=CF=2CE.类型之六:证面积问题6.如图,点E是梯形ABCD的腰DC的中点.求证:S△ABE=12S梯形ABCD.证明:过点E作MN∥AB,交BC于点N,交AD的延长线于点M,则四边形ABNM是平行四边形,∴S△ABE=12S平行四边形ABNM,∵AD∥BC,∴∠1=∠C,∠M=∠2,∵E是CD中点,∴DE=CE,△EMD≌△ENC,∴S梯形ABCD=S平行四边形ABNM,∴S△ABE=12S梯形ABCD类型之七:其他7.如图,在△ABC中,AB=10,AC=6,求边BC上的中线AD的取值范围.解:延长AD至点E,使ED=AD,连结BE,CE.∵AD是BC边上的中线,∴BD=DC.∵ED=AD,∴四边形ABEC为平行四边形,∴BE=AC.在△ABE中,∵AB-BE<AE<AB+BE,即10-6<2AD<10+6,∴2<AD<8.8.如图,六边形ABCDEF中,若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F,且AB+BC=11,AF-CD=3,则BC+DE等于多少?解:由已知∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F可知这些角均为120°,于是延长FA,CB交于点P,延长FE,CD交于点Q.易得△ABP和△EDQ均为等边三角形,由∠F=∠C=120°和∠P=∠Q=60°,得∠F+∠P=180°,∠F+∠Q=180°,所以FQ∥PC,PF∥CQ,所以四边形FPCQ为平行四边形,则PA+AF=CD+DQ,即AF-CD=DQ-PA=DE-AB.又已知AF-CD=3,则得DE-AB=3……①,又AB+BE=11……②,将①②两式相加可得BC+DE=14.平面直角坐标系问题7.如图①,在△ABO中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB为一边,在△OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点,连结AD并延长交OC于点E.(1)求点B的坐标;(2)求证:四边形ABCE是平行四边形;(3)如图②,将图①中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.(1)(43,4)(2)∵∠OAB=90°,∴AB⊥x轴,∵y轴⊥x轴,∴AB∥y轴,即AB∥CE,∵∠AOB=30°,∴∠OBA=60°,∵DB=DO=4,∠OAB=90°,∴DB=AB=4,∴∠BDA=∠BAD=(180°-60°)÷2=60°,∵△OBC是等边三角形,∴∠OBC=60°,∴∠BDA=∠OBC,即AD∥BC,∴四边形ABCE是平行四边形(3)设OG的长为x,∵OC=OB=8,∴CG=8-x,由折叠可得:AG=CG=8-x,在Rt△AOG中,AG2=OG2+OA2,即(8-x)2=x2+(43)2,解得x=1,即OG=1