中国科学院大学数字图像处理习题课与重点

DigitalImageProcessing数字图像处理习题讲解习题1~4都是傅立叶变换的知识考察点：灵活利用定义式和基本性质计算简单函数的傅立叶变换。3复习：傅里叶变换对定义式dxexfuFuxj2)()(dueuFxfuxj2)()(式中x是时域变量，u为频率变量。一维连续函数FT4dxdyeyxfvuFvyuxj)(2),(),(dudvevuFyxfvyuxj)(2),(),(二维连续函数FT:5一维DFTNmnjNnenxmX210)()(NmnjNmemXNnx210)(1)(6二维DFT1,,2,1,01,,2,1,02exp),(),(1010NvMuNvyMuxjyxfvuFMxNy1-,,2,1,01-,,2,1,02exp),(1),(∑∑1-01-0NyMxNvyMuxjvuFMNyxfMuN7一维离散傅里叶变换的性质（１）线性如果时间序列x(n)与y(n)各有傅里叶变换X(m)和Y(m)，则axnbynaXmbYm()()()()8（２）对称性如果mXnx则1NXnxm()()把离散谱序列当成时域序列进行DFT，结果是原时域序列反褶的N倍；如果原序列具有偶对称性，则其DFT结果是原时域序列的N倍。9（３）时间移位如果序列向右（或向左）移动k位，则:其中:kmWmXknxmXnxNjeW210（４）频率移位如果mXnx则kmXWnxkn11（５）周期性如果mXnx则xnrNxn()()12（６）偶函数如果eexnxn则XmxnmnNenNe()()cos()01213（７）奇函数如果nxnxoo则)2sin()()(10mnNnxjmXoNno14（８）卷积定理如果xnXmynYm()(),()()则xnynXmYm()()()()反之xnynXmYm()()()()也成立。15（９）相关定理如果xnXmynYm()()()()则xnoynXmYm()()()()16（10）能量守恒定理如果xnXm()()则nNmNxnNXm0120121()()(11)时域vs.频域离散----周期连续----非周期时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的时域信号频域信号连续的周期的非周期的离散的时域信号频域信号离散的非周期的周期的连续的时域信号频域信号离散的周期的周期的离散的可分离性的应用二维变换用两次一维变换实现)]},([{)]},([{),(yxfDFTDFTyxfDFTDFTvuF行列列行共轭性的应用利用DFT程序计算IDFT***10*10)]}([{1])([1])([1)()]([mXDFTNWmXNWmXNnxmXIDFTNmmnNmmn时域/频域位移定理当u0=v0=N/2时：即，频率平面的原点位移至中心位置。24)2,2(~)1)(,(NvNuFyxfyxNyvxujeyxfvvuuF/)(20000),(~),(NvyuxjevuFyyxxf/)(20000),(~),(位移定理的应用一幅二维连续图像f(x,y)，其座标为(x,y)，傅里叶变换为F(u,v)。现在将座标变换为(x’,y’):[x,y]T=A[x’,y’]T,A=[]这时图像变为g(x’,y’)，它的傅里叶变换是什么？与F(u,v)是什么关系？作业1:坐标的线性变换a,bc,d答案：则),(),(''AvuFyxfyxyx若新坐标旧坐标'')(),()det()','()]','([111111vuAvuvuFAvuGyxgFTT其中知识点：空间坐标的线性变换对傅立叶变换影响旧坐标新坐标yxTyx'''')(),()det()','()]','([1111vuTvuvuFTvuGyxgFTT其中2.已知图像函数满足：f(x,y)={请计算下面几个图像的傅立叶变换：(1)正方形(2)矩形281在图像内部0其它(3)菱形(4)正六边形29知识点：线性坐标变换的常见形式旋转（原图像逆时针绕原点转θ角）缩放（x方向扩A倍，y方向扩B倍）yxTyx''cossinsincosTBAT00解题思路：（1）单位正方形：定义式)(210102)(21010)(21)1(sinsin),(),(vuvyjuxjvyuxjvyuxjvvuudyedxedxdyedxdyeyxfvuF（2）矩形：单位正方形在x,y方向的缩放110022yxBAyx),(),(12BvAuFABvuFx1y1x2y2（3）菱形：单位正方形顺时针旋转45度后，再在x,y方向的缩放x3y3)22,22()0,2()22,22(T1：单位正方形顺时针旋转45度T2：在x,y方向缩放232100245cossinsincos1111233BABATTyxTTyx原来的图形顺时针转，角为负逆时针转，角为正新旧)2321,2321(23),(23232121222222222300211213vuvuFvuFTTT（4）六边形：分为三块菱形2：菱形1逆时针旋转120度菱形3：菱形1顺时针旋转120度3214),(DDDvuFD1D2D3(1)先缩放:(2)再平移:)2,2(4),('20021BvAuFABvuGBAT)(2),('),(BvAujevuGvuGByAx方向下移，方向左移补充题:g(x,y)=1B-BA-Axy知识点:二维连续函数FT位移性质(Shift)如果是的傅里叶变换，则),(vuF)y,x(f),(),(),(),(00)(2)(200vvuuFeyxfevuFbyaxfyvxujbvauj向右平移向右平移39一维连续函数FT空间平移性质如果时域函数向右平移距离a，则:aujeuFaxf2uFxf时域函数向左平移距离a，则f(x+a)F(u)exp(j2πau)40如果uFxf则020uuFexfxuj一维连续函数FT频率移位性质向右平移二维DFT移位性质时域频域)(2,,NbvaujevuFbyaxf00)(2,,00vvuuFeyxfNyvxuj特殊情况：频域原点移到中心位置一维二维2,2)1(,)(NvNuFyxfyx2)1(NuFxfx习题3.从定义式证明Laplace公式),()(4),(222222222vuFvuyxfyx思路:先利用定义式推导证明),(2),(),(),(vuuFjvuGyxfxyxg则令习题4:f(x)为一维离散序列，N=16，且f(0)=f(1)=…=f(7)=1，其余为0，试求：(1)f(x)的傅立叶变换的谱|F(u)|，画出谱线；(2)f(x)(-1)x的傅立叶变换的谱(|F(u-N/2)|)，画出谱线。（计算保留小数点后2位）45解:由定义式708)(161)(xuxjexfuF|16sin|32)1(1|)(|021|)0(|0uuFuFuu时时)16/7sin(161|)9(||)7(|)16/5sin(161|)11(||)5(|)16/3sin(161|)13(||)3(|)16/sin(161|)15(||)1(|;0|)(|;21|)0(|FFFFFFFFuFuF为非零偶数时，当习题5：试证明FFT基数2按时间分解(DIT)的公式。试证明FFT基数2按频率分解(DIF)的公式。试画出N＝4的DIT蝶形流程图。试画出N＝4的DIF蝶形流程图。知识点：快速傅里叶变换(FFT)49１.基数２时间分解的算法把x(n)分成偶数点和奇数点,即:令、分别是的N/2点的DFT。xnxnnNxnxnnN1220121210121()(),,;()(),,.)(1kX)(2kX)()(21nxnx、50这样N点DFT可全部由下式确定出来：1,...,1,0)()()(21NmmXWmXmXmN51或者：)()()2/()()()(2121kXWkXNkXkXWkXkXkNkN12,,1,0Nk上式可用一个专用的碟形符号来表示，这个符号对应一次复乘和两次复加运算：因为,N/2仍然是偶数，因此可以对两个N/2点的DFT再分别作进一步的分解……算法的流程图如下图所示：52abkNWbWakNbWakN-1MN25354555657２.基数2按频率分解的算法这种分解方法是直接把序列分为前点和后点两个序列，即N2N212,2,1,02)(12,2,1,0)()(21NnNnxnxNnnxnx则：58210()()(1)()2NknkNnNXkxnxnW0,1,,1kN当k为偶数,即k=2r时:当k为奇数,即k=2r+1时:5920,1,,1NrnrNnnNNWWnxnxrX212021)]()([)12(nrNnnrNNnNWnxnxWnxnxrX212021212021)]()([)]()([)2(蝶形运算6061626364按频率分解的FFT流程图（N＝8）DIFDITDIF法与DIT法的异同1.相同点(1)原位运算；(2)运算量。2.不同点(1)DIT时域奇偶分组；DIF频域奇偶分组。(2)通常DIT输入变序，输出自然序；DIF相反(但DIT也有相反情况)。(3)蝶形运算不同：变换矩阵互为转置。6667DIT法DIF法根据上面的流图，分析ＦＦＴ算法的两个特点，它们对ＦＦＴ的软硬件构成产生很大的影响:(1)变址分析运算流图中的输入输出序列的顺序，输出按顺序，输入是“码位倒置”顺序。6869由流程图可知，若输出X(k)按正常顺序排列，则输入是按顺序:(0),(4),(2),(6(1),(5),(3),(7xxxxxxxx）；）；这种顺序称作倒位序，即二进制数倒位。(2)原位运算也称为同址运算。流程图中各蝶形对的输入量或输出量是互不相重的，任何一对蝶形的二个输入量经蝶形运算后，便失去了利用价值，不再需要保存。因此，当数据输入到存储器中以后，每一级运算的结果仍然存储在原来的存储器中，直到最后输出，中间无需其它的存储器。根据运算流图分析原位运算是如何进行的。原位运算的结构可以节省存储单元，降低设备成本。71习题6.设有一组随机变量，X=[x1,x2,x3,x4]，其中x1=[000]T，x2=[100]T，x3=[110]T，x4=[101]T，请分别给出其协方差矩阵CX，以及经过霍特林变换后的向量Y的协方差矩阵CY。72知识点：KL变换后的性质一维K-L变换STEP1：定义协方差矩阵。1231111,,,,111niNii