§3.4.1-2定积分的应用(体积-物理应用)

设有一立体位于平面)(,babxax之间，已知它被过点)0,0,(x)(bxa且垂直轴于x的平面所截得的截面面)(xA积为，假定xxA)(是的连续函数，求V的体积立体。（一）平行截面面积为已知的立体的体积二、体积oabzxyx)(xA即体积微元dxxAdV)(，所求体积为badxxAV)(。取x为积分变量，积分区间为],[ba。在],[ba上任取一代表小区间],[dxxx，对应的立体中一薄片的V体积近似等于底面积)(xA为，dx高为的柱体的体积dxxA)(，dxxx)(xAabzyox],[RRx，用过点轴且垂直于xx的平面去截楔形，截得的截面是直角三角形，则底圆的方程为222Ryx。解：如图建立坐标系，故截面积为tan)(21tan21)(22xRyyxA，.tan32tan)(21)(322RdxxRdxxAVRRRR而与底面交成的平面所截，求截得的圆柱楔的体积。例1．设有半径为R的正圆柱体，被通过其底的直径xyoRRytanyxdxxfdxxAdV2)]([)(，(二)旋转体的体积而成的旋转体的体积。0y和曲线)(xfy所围成的图形绕x轴旋转1．设)(xf在],[ba上连续，求由直线ax，bx，xdxxbxyo)(xfya.)]([22dxydxxfVbabax2.设)(y在],[dc上连续，求由直线cy，dy，0x和曲线)(yx所围成图形绕轴y旋转而成的旋转体的体积。dyydV2)]([。dyxdyyVdcdcy2)]([2xoycdy)(yxdyy例2.求椭圆12222byax绕轴x旋转而成的旋转体的体积。解：)(22222xaaby，dxxaabdxydV)(22222dxxaabVaa)(2222.34)31(2232220abxxaabadxxaaba)(222022dxxyxoxaabby得交点1),1(，1),1(。解：解方程组2222xyyx例3．求由222yx和2xy所围成的图形分别绕轴x、轴y旋转而成的旋转体的体积。xoy112xy222yx10)532(253xxx.1544)51312(2dxxx)2(24102dxxdxxVx141211)2(dyydyyVy221102)(232110)312(21yyy)]312()23222[(2).67234(xoy2xy222yx21例4．证明：由bxa0，)(0xfy所围成的图形绕轴y旋转所成的旋转体的体积为：baydxxfxV)(2。证明：以为x积分变量，把在],[ba上的任意子区间],[dxxx上对应的窄曲边梯形绕轴y旋转而成的薄壳看作是一个中空圆柱体，沿着中空圆柱体的高剪开展平，它近似于一块长方形的薄片，于是薄壳的体积近似等于为以)(xf高，为以2x长，为以dx厚的长方体的体积，即旋转体的体积微元为类似地，由dyc0，)(0yx所围成的图形绕轴x旋转所成的旋转体的体积为：dcxdyyyV)(2。baydxxfxV)(2x2)(xfdxdxxfxdv)(2xdxxxyaob)(xfx)(xf例5．将圆域轴旋转，绕yaRRyax)0()(222求所得旋转体的体积。在点x处旋转半径为)(xf，设在],[dxxx上相应的小旋转体的侧面积的微元为dA。3．4．4旋转体的侧面积],[dxxx],[ba，aoyxb)(xfyxdxx设)(xf在[ba,]上非负，且有连续的导数。求由直线绕轴x旋转一周所形成的旋转体的侧面积。ax，bx，0y和曲线)(xfy围成的平面图形，则dLxfdA)(2，.)(1)(22dxxfxfAba故在曲线上点))(,(xfxP处的弧长微元是dxxfdL)(12，.)(1)(22dxxfxfAba一般地aoyxb)(xfyxdxx解：AR的球的表面积半径为等于例6．AR的球的表面积求半径为。半圆22xRy（RxR）xyoRR,22xRxy,11222222xRRxRxy则RRdxyyA212.42222222RdxRdxxRRxRRRRR绕x轴旋转所得旋转体的表面积。例7．求圆)0()(222baabyx绕轴x旋转所得旋转体的表面积。解：如图，上半圆与下半圆的方程分别是xoaay221xaby与222xaby。是上、下半圆绕轴x旋转的侧面积之和，即aaaadxyydxyyA2222111212旋转体的表面积（环体的表面积）Aaadxyyyy222211]11[2aadxxaaxabxaaxab22222222])()[(2aaaxadxabxadxab0222284.4arcsin820abaxaba3.4.5一些物理量的计算一、质量例1.设半圆形线材的方程为22xRy)(RxR，线材上点的),(yxM处的),(Rkkyk且为常数线密度为，求该线材的质量。解：取积分变量为x，积分区间为],[RR，],[dxxx是],[RR上的任一小区间，以对应小切线段的长度dS代替小弧段的长度S，得到质量的微元oxyRRxdxxdSSdxydSdM21dxxRRyk22)(,)(22dxRxRkR故RRdxRxRkRM22)(.22arcsin22RkRRRxkRRR试问将水全部吸出需作多少功？xdxxxyo151010AB例2．设一锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满水，二、功积分区间为]6,0[，取积分x变量为，AB直线的方程为63xy，xdxx解：如图建立坐标系，)2,6(B)3,0(Axoy6与它相应的小薄片的面积近似于宽dx为，在]6,0[上任取一小区间],[dxxx，长为36)63(22xxy的小矩形面积。例3.设有一竖直的闸门，形状是等腰梯形，上底为6米，下底为4米，高为6米，当水面齐闸门顶时，求闸门所受的水压力。三、液体的压力dxxdA)63(2，xh，∴dxxgxdAghdP)63(2.)326(dxxxg60]9323[60)326(xxgdxxxgP).(51023.83108.984)10824(Ngxdxx)2,6(B)3,0(Axoy6方程为222)(RyRx。dxxx解：如图建立坐标系，则底面圆周的例4．一个横放着的圆柱形的桶，桶里装满了水，设桶的底半径R为，计算桶的底面所受的压力。取积分x变量为，积分区间为]2,0[R，OR2yx.)(222dxRxRxRdxRxRxP2022)(2RRdttRtR22)(2RRdttRR222.414432022RRRdttRRRdxyxdP2tRx令的方程为222Ryx。另解：如图建立坐标系，则底面圆周RRdxxRRxP222)(RRdxxRR222.414433022RRRdxxRRRdxxxRRoyx作业习题九（P198）1（2）（3）（6）；2；3（1）（2）（5）；4；5;6；9；12；13；15；16；17；19；20;23。