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力学中的泛函分析与变分原理研究生课程大连理工大学工程力学系授课教师：郭旭教授第三讲：线性赋范空间课程回顾线性空间的同构设𝕏和𝕏是两个线性空间,如果𝕏和𝕏之间存在一一对应关系𝒯(对任意元素𝑥∈𝕏,均有唯一的元素𝑥∈𝕏与之对应，记为𝑥=𝒯𝑥;反之，对于任意𝑥∈𝕏，均有唯一的𝑥∈𝕏,满足𝒯𝑥=𝑥),使得对任意的𝑥,𝑦∈𝕏,及任意实数𝜆,均有等式𝒯𝑥+𝑦=𝒯𝑥+𝒯𝑦𝒯𝜆𝑥=𝜆𝒯𝑥则称空间𝕏和𝕏是线性同构的，简称同构，而𝒯称为同构映射。子空间设𝕃是线性空间𝔼的子集，如果对于任意𝑥,𝑦∈𝕃及任意实数𝜆,𝜇,均有𝜆𝑥+𝜇𝑦∈𝕃,则称𝕃是𝔼的一个子空间。子空间本身也是一个线性空间，且必包含零元素。设𝔼是线性空间，𝕃1和𝕃2是𝔼中的两个子空间,如果𝔼中任意元素均可唯一的表示为𝑥=𝑥1+𝑥2,其中𝑥1∈𝕃1,𝑥2∈𝕃2,则称𝔼是𝕃1和𝕃2的“直和”，记作：𝔼=𝕃1⊕𝕃2,且𝕃1和𝕃2称为互补子空间。课程回顾线性流形设𝕃是线性空间𝔼的子空间，𝑥0∈𝔼\𝕃,则集合𝑥0+𝕃=𝑥0+𝑙;𝑙∈𝕃称为𝔼的一个流形。线性流形的维数是指它所对应的子空间𝕃的维数。𝑚维流形是指这空间中的一个点集，其中点的坐标能用𝑚个任意参数表示：𝑥𝑘=𝑥𝑘𝑡1,𝑡2,…,𝑡𝑚,𝑘=1,2,…,𝑛流形是曲线和曲面概念的推广。线性空间中的凸集设𝕄是线性空间𝔼的一个集合，如果对任意𝑥,𝑦∈𝕄及𝜆+𝜇=1,𝜆≥0,𝜇≥0,均有：𝜆𝑥+𝜇𝑦∈𝕄1.1.1则称𝕄是𝔼中的凸集。课程回顾距离空间设𝕏为非空集合，若对于𝕏中的任意两个元素𝑥,𝑦,均有一个实数与之对应，此实数记为𝑑(𝑥,𝑦)，它满足：(1)非负性：𝑑𝑥,𝑦≥0;且𝑑(𝑥,𝑦)=0的充要条件是𝑥=𝑦(2)对称性：𝑑(𝑥,𝑦)=𝑑𝑦,𝑥(3)三角不等式：𝑑𝑥,𝑦≤𝑑𝑥,𝑧+𝑑𝑦,𝑧,其中𝑧是𝕏中任意元素则称𝑑(𝑥,𝑦)为𝑥,𝑦的距离，称𝕏是以𝑑为距离的“距离空间”。欧氏空间：定义了距离的向量空间称为欧氏空间。设𝑥𝑛𝑛=1∞是距离空间𝕏,𝑑中的元素序列，如果𝕏,𝑑中有元素𝑥满足：lim𝑛→∞𝑑𝑥𝑛,𝑥=0则称𝑥𝑛是收敛序列，𝑥称为它的极限，记为𝑥𝑛→𝑥.推论：如果序列𝑥𝑛有极限，则极限唯一。因为如果𝑥与𝑦都是𝑥𝑛的极限，则有0≤𝑑𝑥,𝑦≤𝑑𝑥,𝑥𝑛+𝑑𝑦,𝑥𝑛.于是有𝑑(𝑥,𝑦)=0,即𝑥=𝑦.§1.2距离空间开集、闭集设𝑟为一正数，集合𝑆𝑟𝑥0=𝑥∈𝕏;𝑑𝑥,𝑥0𝑟称为距离空间𝕏,𝑑中的球形邻域，简称为球。𝑥0称为𝑆𝑟𝑥0的中心，𝑟称为半径。设𝕏,𝑑为距离空间，𝕄是其中一个子集，𝑥0∈𝕄.如果存在关于𝑥0的球形邻域𝑆𝑟𝑥0,满足𝑆𝑟𝑥0⊂𝕄,则称𝑥0是集合𝕄的内点。如果𝕄的所有元素都是𝕄的内点，则𝕄是开集。设𝕄⊂𝕏,𝑑,𝑥0∈𝕏,如果任一包含𝑥0的球𝑆𝑟𝑥0中总含有集合𝕄的异于𝑥0的点，则称𝑥0是集合𝕄的聚点（或极限点）。令𝕄⊂𝕏,𝑑的所有聚点所构成的集合为𝕄′,则集合𝕄=𝕄⋃𝕄′称为𝕄的闭包。如果集合𝕄满足𝕄⊃𝕄,则称集合𝕄为闭集。1§1.3线性赋范空间范数、线性赋范空间设𝔼是线性空间，如果对𝔼中的任一个元素𝑋,都对应于一个实数，记为𝑋且满足：(i)𝑋≥0,当且仅当𝑋=𝑶时𝑋=0;(ii)𝜆为实数，𝜆𝑋=𝜆𝑋;(iii)∀𝑋,𝑌∈𝔼,𝑋+𝑌≤𝑋+𝑌则称𝑋为元素𝑋的范数，𝔼称为按范数⋅的线性赋范空间。设⋅1和⋅2是线性赋范空间𝔼中的两种范数，如果存在常数𝛼0和𝛽0使得∀𝑋∈𝔼,均有𝛼𝑋1≤𝑋2≤𝛽𝑋1则称两种范数是等价的，简记为⋅1~⋅2.2§1.3线性赋范空间等距同构、等价设𝕏和𝕏是两个线性赋范空间，对应范数分别为⋅𝕏和⋅𝕏.如果𝕏和𝕏存在一个同构映射𝜑:𝑥=𝜑𝑥,𝑥∈𝕏,𝑥∈𝕏.它还满足：𝜑𝑥𝕏=𝑥𝕏则称空间𝕏和𝕏是等距同构的，或等价的。在泛函分析中，常把等距同构空间视为等同的空间。3§1.4巴拿赫空间基本序列（Cauchy列）设𝕏为线性赋范空间，𝑥𝑛𝑛=1∞是𝕏中的无穷序列，如果对于任给的𝜀0总存在自然数𝑁,使得𝑛𝑁时，对于任意自然数𝑝,均有𝑥𝑛+𝑝−𝑥𝑛𝜀则称序列𝑥𝑛是𝕏中的基本序列（也称为基本列、Cauchy列）。由定义可知，𝕏中的任何收敛序列都是基本序列，但基本序列却不一定收敛。Banach空间如果线性赋范空间𝕏中的任何基本序列都收敛于𝕏中的元素，则称𝕏为完备的线性赋范空间，或称为Banach空间。任一有限维线性赋范空间必为Banach空间。任一线性赋范空间的有限维子空间是闭的。4课程章节第一章：线性赋范空间第二章：希尔伯特空间第三章：有界线性算子第四章：有界线性泛函与共轭空间第五章：泛函的极值第六章：力学中的变分原理§2.1内积空间5内积空间、Hilbert空间设𝔼为实线性空间，如果对𝔼中的任意两个元素𝑥和𝑦,均有一个实数与之对应，此实数记为(𝑥,𝑦),它满足：(i)𝑥,𝑥≥0,当且仅当𝑥=𝑶时𝑥,𝑥=0;(ii)𝑥,𝑦=𝑦,𝑥;(iii)𝜆𝑥,𝑦=𝜆𝑥,𝑦,𝜆为任意实数；(iv)𝑥+𝑦,𝑧=𝑥,𝑦+𝑦,𝑧,∀𝑧∈𝔼;则称数(𝑥,𝑦)为𝑥和𝑦的内积，称𝔼为内积空间。内积可以诱导范数，例如可以定义：𝑥=𝑥,𝑥.在此范数定义下完备的内积空间称为Hilbert空间,记作ℍ。§2.2Hilbert空间的最佳逼近6最佳逼近元设𝕏为距离空间，𝔹是𝕏中一个集合，𝑥∈𝕏\𝔹.记𝑑(𝑥,𝔹)为点𝑥到集合𝔹的距离，有𝑑𝑥,𝔹=inf𝑦∈𝔹𝑑𝑥,𝑦如果集合𝔹中存在元素𝑥,使𝑑𝑥,𝑥=𝑑𝑥,𝔹,则称元素𝑥∈𝔹是元素𝑥∈𝕏在集合𝔹中的最佳逼近元，简称最佳元。正交ℍ为Hilbert空间，𝑥,𝑦∈ℍ且𝑥,𝑦=0,则称元素𝑥与𝑦是正交的，记作𝑥⊥𝑦.设𝕊是ℍ的子集，而元素𝑥∈ℍ与𝕊中的任一元素都正交，则称元素𝑥与集合𝕊正交，记为𝑥⊥𝕊.§2.2Hilbert空间的最佳逼近7定理1：设𝔹是ℍ中的闭凸子集，𝑥∈ℍ\𝔹,则存在唯一的𝑥∈𝔹,使得𝑥−𝑥=inf𝑦∈𝔹𝑥−𝑦推论：设𝕃是ℍ中的闭子空间，𝑥∈ℍ\𝕃,则存在𝑙∈𝕃,使得𝑥−𝑙=𝑑𝑥,𝕃定理2：若𝑥⊥𝑦,则𝑥−𝑦2=𝑥2+𝑦2设𝕃是ℍ的闭子空间，𝑥∈ℍ\𝕃,则𝑙是𝑥在𝕃中的最佳元的充要条件是𝑥−𝑙⊥𝕃,即对∀𝑙∈𝕃,均有𝑥−𝑙,𝑙=0.𝑙称为元素𝑥在闭子空间𝕃上的投影。定理3：设𝔹是Hilbert空间ℍ中的闭凸子集，𝑥∈ℍ\𝔹,则下列命题等价(i)𝑥∈𝔹是𝑥的最佳元，即对任意的𝑏∈𝔹,均有𝑥−𝑥≤𝑥−𝑏;(ii)𝑥∈𝔹满足：对任意的𝑏∈𝔹,均有𝑥−𝑥,𝑏−𝑥≤0;(iii)𝑥∈𝔹满足：对任意的𝑏∈𝔹,均有𝑥−𝑏,𝑥−𝑏≥0.谢谢大家！欢迎提问！研究生课程