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力学中的泛函分析与变分原理研究生课程大连理工大学工程力学系授课教师：郭旭教授第五讲：希尔伯特空间课程回顾内积空间设𝔼为实线性空间，如果对𝔼中的任意两个元素𝑥和𝑦,均有一个实数与之对应，此实数记为(𝑥,𝑦),它满足：(i)𝑥,𝑥≥0,当且仅当𝑥=𝑶时𝑥,𝑥=0;(ii)𝑥,𝑦=𝑦,𝑥;(iii)𝜆𝑥,𝑦=𝜆𝑥,𝑦,𝜆为任意实数；(iv)𝑥+𝑦,𝑧=𝑥,𝑧+𝑦,𝑧,∀𝑧∈𝔼;则称数(𝑥,𝑦)为𝑥和𝑦的内积，称𝔼为内积空间。Hilbert空间内积可以诱导范数，例如可以定义:𝑥=𝑥,𝑥.在此范数定义下，完备的内积空间称为Hilbert空间，记作ℍ.（今后出现的ℍ均代表Hilbert空间）课程回顾最佳逼近元设𝕏为距离空间，𝔹是𝕏中一个集合，𝑥∈𝕏\𝔹.记𝑑(𝑥,𝔹)为点𝑥到集合𝔹的距离，其中𝑑𝑥,𝔹=inf𝑦∈𝔹𝑑𝑥,𝑦如果集合𝔹中存在元素𝑥,使𝑑𝑥,𝑥=𝑑𝑥,𝔹,则称元素𝑥∈𝔹是元素𝑥∈𝕏在集合𝔹中的最佳逼近元，简称最佳元。正交ℍ为Hilbert空间，𝑥,𝑦∈ℍ且𝑥,𝑦=0,则称元素𝑥与𝑦是正交的，记作𝑥⊥𝑦.设𝕊是ℍ的子集，而元素𝑥∈ℍ与𝕊中的任一元素都正交，则称元素𝑥与集合𝕊正交，记为𝑥⊥𝕊.§2.2Hilbert空间的最佳逼近1定理1：设𝔹是ℍ中的闭凸子集，𝑥∈ℍ\𝔹,则必存在唯一的𝑥∈𝔹,使得𝑥−𝑥=inf𝑦∈𝔹𝑥−𝑦证明：存在性(构造)记𝑑=𝑑𝑥,𝔹=inf𝑦∈𝔹𝑑𝑥,𝑦,由下确界的定义可知，对于任意自然数𝑛,必存在𝑦𝑛∈𝔹,使得：𝑑≤𝑥−𝑦𝑛≤𝑑+1𝑛.可证得𝑦𝑛是ℍ中的基本序列：由平行四边形定则：2𝑥−𝑦𝑛2+2𝑥−𝑦𝑚2=2𝑥−𝑦𝑛−𝑦𝑚2+𝑦𝑛−𝑦𝑚2𝔹是凸的，可知𝑦𝑛+𝑦𝑚2∈𝔹,从而2𝑥−𝑦𝑛−𝑦𝑚2=4𝑥−𝑦𝑛+𝑦𝑚22≥4𝑑2,故𝑦𝑛−𝑦𝑚2=2𝑥−𝑦𝑛2+2𝑥−𝑦𝑚2−2𝑥−𝑦𝑛−𝑦𝑚2≤2𝑑+1𝑛2+2𝑑+1𝑚2−4𝑑2=4𝑑𝑛+4𝑑𝑛+2𝑛2+2𝑚2.当𝑛→∞,𝑚𝑛时，𝑦𝑛−𝑦𝑚→0.§2.2Hilbert空间的最佳逼近2定理1：设𝔹是ℍ中的闭凸子集，𝑥∈ℍ\𝔹,则必存在唯一的𝑥∈𝔹,使得𝑥−𝑥=inf𝑦∈𝔹𝑥−𝑦证明：存在性(构造)可知𝑦𝑛是ℍ中的基本序列，由𝔹是闭的，可知存在𝑥∈𝔹,使得𝑦𝑛→𝑥.不等式𝑑≤𝑥−𝑦𝑛≤𝑑+1𝑛左右两端取极限，有：𝑥−𝑥=𝑑=inf𝑦∈𝔹𝑥−𝑦唯一性(反证)设另有𝑥1∈𝔹满足𝑥−𝑥1=𝑑,则有2𝑥−𝑥2+2𝑥−𝑥12=4𝑑2=𝑥−𝑥12+4𝑥−𝑥+𝑥122≥𝑥−𝑥12+4𝑑2⇒𝑥−𝑥12≤0,可得𝑥−𝑥1=0,即𝑥=𝑥1.§2.2Hilbert空间的最佳逼近3定理1：设𝔹是ℍ中的闭凸子集，𝑥∈ℍ\𝔹,则必存在唯一的𝑥∈𝔹,使得𝑥−𝑥=inf𝑦∈𝔹𝑥−𝑦推论：设𝕃是ℍ中的闭子空间，𝑥∈ℍ\𝕃,则存在𝑙∈𝕃,使得𝑥−𝑙=𝑑𝑥,𝕃定理2：若𝑥⊥𝑦,则𝑥+𝑦2=𝑥2+𝑦2.定理3(投影定理)：设𝕃是ℍ的闭子空间，𝑥∈ℍ\𝕃,则𝑙是𝑥在𝕃中的最佳元的充要条件是𝑥−𝑙⊥𝕃,即对∀𝑙∈𝕃,均有𝑥−𝑙,𝑙=0.𝑙称为元素𝑥在闭子空间𝕃上的投影。定理4：设𝔹是Hilbert空间ℍ中的闭凸子集，𝑥∈ℍ\𝔹,则下列命题等价(i)𝑥∈𝔹是𝑥的最佳元，即对任意的𝑏∈𝔹,均有𝑥−𝑥≤𝑥−𝑏;(ii)𝑥∈𝔹满足：对任意的𝑏∈𝔹,均有𝑥−𝑥,𝑏−𝑥≤0;(iii)𝑥∈𝔹满足：对任意的𝑏∈𝔹,均有𝑥−𝑏,𝑥−𝑏≥0.§2.3Hilbert空间的Fourier级数4正交化方法设𝑒1,𝑒2,…是Hilbert空间ℍ的一组元素，如果对任意的𝑖≠𝑗,𝑖,𝑗∈ℕ+,均有𝑒𝑖,𝑒𝑗=0,则称𝑒1,𝑒2,…是ℍ中的正交集；如果每个𝑒𝑖都是单位元素(即范数为1)，则称之为规范正交集.即ℍ中的规范正交集𝑒1,𝑒2,…满足：𝑒𝑖,𝑒𝑗=𝛿𝑖𝑗=1,𝑖=𝑗0,𝑖≠𝑗设𝑒𝑖是Hilbert空间ℍ的规范正交集，如果对于∀𝑥∈ℍ,均有𝑥=𝑐𝑖𝑒𝑖∞𝑖=1其中𝑐𝑖=𝑥,𝑒𝑖,则称𝑒1,𝑒2,…是完全的。定理：设𝑒1,𝑒2,…是ℍ中的规范正交集，则其为完全的充分必要条件是(i)对于∀𝑥~𝑐𝑖𝑒𝑖∞𝑖=1∈ℍ,均有𝑐𝑖2∞𝑖=1=𝑥2;(ii)若有一元素𝑥∈ℍ与每个𝑒𝑖都正交，则𝑥=𝑶.§2.3Hilbert空间的Fourier级数5正交补设𝕊为Hilbert空间ℍ中的子集,ℍ中所有正交于𝕊的元素集合称为𝕊的正交补，记为𝕊⊥.定理：设𝕃是Hilbert空间ℍ中的闭子空间，则ℍ=𝕃⨁𝕃⊥,且𝕃⊥⊥=𝕃.§2.4Sobolev空间6索伯列夫空间将区间𝑎,𝑏上一阶连续可微函数全体构成的集合记为ℍ1𝑎,𝑏.在通常的函数加法、数乘意义下,ℍ1𝑎,𝑏是线性空间.对于任意的𝑢𝑡,𝑣𝑡∈ℍ1𝑎,𝑏,定义它们的内积为𝑢,𝑣=𝑢𝑡𝑣𝑡𝑑𝑡𝑏𝑎+𝑢′𝑡𝑣′𝑡𝑑𝑡𝑏𝑎2.4.1不难验证它满足内积的四条公理，因而ℍ1𝑎,𝑏是内积空间，相应的范数为𝑢=𝑢𝑡2𝑑𝑡𝑏𝑎+𝑢′𝑡2𝑑𝑡𝑏𝑎1/22.4.2空间ℍ1𝑎,𝑏在范数(2.4.2)意义下的完备化空间记为ℍ1𝑎,𝑏,称为Sobolev空间。课程章节第一章：线性赋范空间第二章：希尔伯特空间第三章：有界线性算子第四章：有界线性泛函与共轭空间第五章：泛函的极值第六章：力学中的变分原理§3.1线性算子7算子设𝕏和𝕐是给定的两个线性赋范空间，集合𝔻⊂𝕏,若对𝔻中每一个元素𝑥,均对应𝕐中一个确定的元素𝑦,就说这种对应关系确定了一个算子，用花体大写字母𝒯,𝒜,…表示，记为𝑦=𝒯𝑥或𝑦=𝒯𝑥.𝑦称为𝑥的像，𝑥称为𝑦的原像。集合𝔻称为算子𝒯的定义域，常记为𝐷𝒯.而集合𝑅𝒯=𝑦∈𝕐;𝑦=𝒯𝑥,𝑥∈𝐷𝒯称为算子𝒯的值域。对于算子𝒯,常用记号𝒯:𝕏→𝕐,读作“𝒯是由𝕏到𝕐的算子”。谢谢大家！欢迎提问！研究生课程