高等数学-第七章-定积分应用与广义积分-7-2(3)空间立体的体积

第二节定积分的几何应用三、空间立体的体积1.已知平行截面面积的空间立体体积2.旋转体的体积第七章1.已知平行截面面积的空间立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间xxAVd)(d因此所求立体体积为()dbaVAxx上连续,ab的体积元素为()abxxdxOab()AxdV()Axx例1求以半径为R的圆为底、垂直于底面上一条定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.解取坐标系如图底圆方程为,222Ryx],[RRxyxo222RyxxA(x)h三角形边长222xRl高为：223xRh)(321)(22xRhlxAxxAVRRd)(xxRRd)(320223334R2.旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线称为旋转轴．圆柱圆锥圆台情形1)(xfyabG1xyoabG1ab)(xfyabG1xyoxxdxxxyodxxx()fxxyoabxxxdxx()fxxxyoabxxddxxyoab•G1绕x轴旋转一周所得旋转体的体积取积分变量为x，],[bax则以f(x)为高，以dx为底的窄边矩形在],[ba上任取小区间]d,[xxx，平面图形G1：由连续曲线y=f(x)，直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形.绕x轴旋转而成的圆柱体的体积便是体积元素：xxfVxd)]([d2))]([)((2xfxA截面积)1.2(d)]([2xxfVbax)(xfyabG1xyoxxdxxxyodxxx()fxxyoabxxxdxx()fxxxyoabxxddxxyoabG1绕x轴旋转的旋转体的体积：例2解xhRy直线方程为OP建立坐标系，如图.连接坐标原点O及点P(h,R)的直线，直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转一周构成一个底半径为R，高为h的圆锥体，计算该圆锥体的体积.取积分变量为x，],0[hxxxhRVdd2圆锥体的体积xxhRVhd)(20hxhR03223.32hR在],0[h上任取小区间]d,[xxx，以dx为底的窄边矩形绕x轴旋转而成的圆柱体的体积为用“柱壳法”：将旋转体分割成一系列以y轴为中心轴的曲顶环柱体.],,[]d,[baxxx]d,[xxx设相应于的曲顶环柱体很小时，则当xdxOy)(xfyabG1圆环柱体VVy,yV的体积为G1绕y轴旋转一周所得旋转体的体积xxdx圆环柱体VVy)(])d([22xfxxx)()(dd)(22xfxxxfxo(dx).d)(2xxfx可以证明：体积元素xxfxVyd)(2dG1绕y轴旋转的旋转体的体积：)2.2(d)(2xxfxVbayx)(xfyabG1dxxxoyyx平面图形2G:由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形.yyVdcyd)]([2yyyVdcxd)(2情形2G2绕y轴旋转G2绕x轴旋转)(yxcdyxoy•求摆线)sin(ttax，)cos1(tay的一拱与0y所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转构成旋转体的体积.解(1)绕x轴旋转的旋转体体积xxyVaxd)(2202022d)cos1()cos1(ttata20323d)coscos3cos31(tttta.532a例3(2)绕y轴旋转的旋转体体积yyxVayd)(2202yyxad)(2201222dsin)sin(ttatta022dsin)sin(ttatta2023dsin)sin(tttta.633a（方法1）xxfxVayd|)(|22020)]sin(d[)cos1()sin(2ttatatta2023d)cos1)(sin(2tttta.633atu)d()cos1)(sin(223uuuuauuuuad)cos1)(sin(223023d)cos1(22uua(方法2)柱壳法xyxad||220例4求由曲线24xy及0y所围成的图形绕直线3x旋转构成旋转体的体积.解取积分变量为y,]4,0[y体积元素为:yQMPMVd][d22yyyd])43()43([22,d412yyyyVd41240.64(方法1)24xy4–22xyo3x•MyyydP••Q(方法2)取积分变量为x,].2,2[xxxfxVxd)(32223xxxd)4()3(2222xxd)4(32222xxd)4(12220.6424xy4–22xyo3xxxdx例5(综合题)所围成，求及直线线已知曲边三角形由抛物1,022yxxy曲边三角形的面积；)1(；旋转所成旋转体的体积曲边三角形绕1)2(y.)3(曲边三角形的周长解(1)yyAd2102.6161103yxyoxy221(2)xxVd)21(2210xxxd)2221(210.12(3),ddyyxxyxsd1d21yyd12yysd11021tytantttdsecsec240221xyoxy221xx21)d(tansec40tttttttdtansectansec24040ttdsec403tttd)1(secsec224040403dsecdsec2tttt40403)tanln(secdsec2tttt2111ss从而周长：.2)12ln(22dsec403tt.2)12ln(223例6(综合题)时，过原点，当抛物线设102xcbxaxy轴所围及线，又已知该抛物线与直xxy10.,,31最小积一周而成的旋转体的体轴旋转使此图形绕，求图形的面积为Vxcba解所以c=0,又由题设，知31d)(210xbxaxS知识点：①平面图形的面积②旋转体的体积③函数的极值、最值31d)(210xbxaxS，即3123ba，从而)1(32abxbxaxVd)(1022于是)3215(22baba])1(9431)1(315[22aaaa])1(9431)1(315[)(22aaaaaV,0)]1(278323152[)(aaaaV由,45a得唯一驻点：01354)(aV又，23b.0,23,45时，旋转体的体积最小故当cba内容小结二、旋转体的体积一、平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周x绕轴旋转一周y绕非坐标轴直线旋转一周备用题例1-1一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,222Ryx解如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxR计算该平面截圆柱体所得立体的体积.xoRxyRxxRV022dtan)(212利用对称性3231tan2xxR0RxoRxy思考可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?)(yA提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22RyR022])(32[tan23oRxy),(yx计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而成的椭球体的体积.解(方法1)利用直角坐标方程则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234abaV02xyd2例2-1bayxooxybayxoox(方法2)利用椭圆参数方程则xyVad2022032dsin2tab22ab32234ab1特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积.343a)dsin()sin(2022ttatby例3-1解体积旋转一周所成旋转体的轴轴，轴围成的图形分别绕与计算由正旋曲线弧yxxπxxy],0[,sin(1)绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为xxπVπxdsin02xxππd)2cos1(200]2sin21[2xx22ππxysinxOy分别绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积之差.这个图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积可以看成平面图形OABC与OBC1CBA(2)绕y轴旋转一周所成旋转体的体积分析πxysinxOy(方法1))10(arcsinyyx)10(arcsinyyπxOB的方程为)AB的方程为)1CBAπxysinxOy从而所求的体积为yyVxd)arcsin(102yyd)(arcsin102yyπππd)arcsin2(102yyππdarcsin210231021023d1|arcsin2yyyyyππ1022d12yyyπ1022]1[2yπ22πyyππdarcsin21023(方法2)πxysinxOyxxfxVbayd)(2由公式得xxxVydsin20xxcosd20)dcoscos(200xxxx)sin(20x22π试用定积分求圆绕x轴oxyRbR上半圆为：下222)(xRbRV02xdbR222解(方法1)利用对称性旋转而成的环体体积V.例3-2xyo(方法2)用柱壳法Vdx2ydRbRbV4ybyRyd)(22注上式可变形为2RV右半圆为左此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).oxyRbRydd2bRV•o设平面图形A由xyx222与xy图形A绕直线x＝2旋转解若选x为积分变量，则旋转体的体积为V102d)2)(2(2xxxxx32212若选y为积分变量,则V1022d)11(2yy102d)2(yy例4-1所确定,求一周所得旋转体的体积.21x1yoxy)0(,)()(txxfytV表示例4-2)(xfy设在x≥0时为连续的非负函数,,0)0(f且绕直线x＝t旋转一周证明:.)(2)(tftV证利用柱壳法xxfxtVd)()(2d轴所围图形及x所成旋转体体积,)(xfyoxxxdxtxt则xxfxttVtd)()(2)(0xxfxttVtd)()(2)(0xxfttd)(20xxfxtd)(20xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft).(2)(tftV故解例5-1Dxxyxy平面图形轴所围成的及的切线，该切线与曲线过坐标原点作曲线lnln；的面积求AD)1(.)2(VexD体的体积旋转一周所得旋转绕直线求，设切点的横坐标为0)1(x处的切线方程为在点则曲线)ln,(ln00xxxy(2003年考研))(1ln000xxxxy)(1ln000xxxxy由于该切线过原点，得01ln0x即ex0从而切线方程为xey1所以平面图形D的面积oxy(e,1)1e10d)(yeyeAy121e围成的轴及直线与切线exxxey1)2(三角形绕直线x=e旋转一周所得圆锥体的体积为2131eπV围成的图形绕直线轴及直线与曲线exxxylnx=e旋转所得旋转体的体积为oxy(e,1)1eyeeπVyd)(