激光原理--全套课件

激光原理与技术·原理部分第11讲平行平面腔自再现模式11.0平行平面腔•平行平面腔–优点：光束方向性好、模体积较大、容易获得单横模振荡；–缺点：调整精度要求较高、损耗比稳定腔大；•分析平行平面腔的方法–分析平平腔的主要内容就是分析其振荡模式，也就是求解平平腔条件下的菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式；–公式的解存在，但是很难求解，因此多使用数值方法来求近似解；11.1平行平面腔自再现模式的迭代解法•Fox-Li数值迭代法•GardnerFox和厉鼎毅在1961年发表文章ResonantModesinaMaserInterferometer首次提出了用计算机迭代方法求解衍射积分方程来研究平平腔内模式的方法；•优点–理论上可以研究任何类型的光学谐振腔；–通过迭代法近似计算证明了自再现模的存在性；–计算过程与开腔模式的物理机制类似，方便理解；•缺点–收敛性不好，计算量大；–对高阶模式的计算误差较大；1'qqSuKuds11.1平行平面腔自再现模式的迭代解法•平行平面镜腔–如图所示的矩形镜平平腔，满足条件：–两腔镜上两点之间距离为：–将其作级数展开：LaLb222(')(')xxyyL2222''(,,',')11'1'122xxyyxyxyLLLxxyyLLL42241'1'1''884xxyyxxyyLLLLLL当时，相对于可以忽略不计44'288LxxLaLL2k43akL2aNL22LNa或者11.1平行平面腔自再现模式的迭代解法•当满足条件时，积分核可以写成：•则衍射积分公式改写为：•对方形或矩形反射镜能够对光场表达式进行分离变量：22;/LaNLa2222''''11expexp2222ikLikxxyyxxyyeikLeikLLLL22''(,)(',')exp''abikLabxxyyiExyeExyikdxdyLLL(,)()()ExyExEy22()(,')(')'(1)()(,')(')'(2)'(,')exp2'(,')exp2axxaayyaikLxikLxxyExKxxExdxEyKyyEydyxxiKxxeikLLyyiKyyeikLL式(1)表示一个平平腔，其反射镜在x方向上的宽度为2a，y方向上无限延伸的条状腔的自再现模；式(2)表示的是另一个方向的条状腔的自再现模。11.1平行平面腔自再现模式的迭代解法•满足上述方程的函数E(x)和E(y)可以有很多个，用Em(x)和En(Y)分别表示其中的第m和第n个解，对应的复常数为γm、γn，则上述方程可以表示为：•(1)式在数学上称为本征方程，只有在γm和γn为一系列分立的值，对应m、n取不同的正整数时，方程才成立，因此γm和γn又被称为方程的本征值；•对不同的γm和γn，能够使方程成立的解Em(x)和En(y)被称为相应的本征函数；•本征函数决定了镜面上的场分布；•本征值决定了光波模的传播特性，例如模的衰减、相移、谐振频率等；()(,')(')'()(,')(')'ammxmabnynnbExKxxExdxEyKyyEydy此时的自再现模为：复常数为：(,)()()mnmnExyExEymnmn11.1平行平面腔自再现模式的迭代解法•由此可得到数值计算中的迭代公式为：•要进行迭代需要设置初始值u1，从前面我们对开腔物理模型的分析知道，理论上任何形式的初始模式在经过足够多次的传播后都会产生稳定的自再现模，因此不妨设u1(x)=1，由于arg[u1(x)]=0，它代表了一个等相位面就是反射镜平面，且在等相位面上振幅均匀分布的平面波。221223'()exp(')'2'()exp(')'2aikLaaikLaxxiuxeikuxdxLLxxiuxeikuxdxLL11.1平行平面腔自再现模式的迭代解法•将u1带入迭代公式可以求出第二个镜面上的光波u2。由于我们只对相位和振幅的相对分布感兴趣，因此对u2进行归一化。•将归一化后的u2作为输入参数带入迭代公式可以求出u3，依次循环计算下去，直到得到的归一化的uq+1和uq之间只相差一个与坐标无关的常数因子为止；•此时求出的uq是迭代方程的稳定解，也就是本征函数；•此时求出的与坐标无关的常数因子是本征值；1/qquu11.2平行平面腔自再现模式的特征•Fox-Li对条件下的平平腔进行了迭代计算，得到了稳定存在的自再现模并分析了其特征。•1、镜面上的振幅分布–右图是300次迭代后得到的稳定自再现模的相对振幅分布，具有以下的特点：•镜面中心处振幅最大；•从中心到边缘振幅逐渐下降；•振幅分布具有藕对称性；–具有这种特征的模是腔的最低阶偶对称模，或者称为基模。在条状腔中用TEM0，在矩形镜和圆形镜腔中用TEM00来表示基模。–菲涅耳数N描述了光腔衍射损耗的大小，N越大，衍射损耗越小，镜边缘处的相对振幅越小；25,100aL11.2平行平面腔自再现模式的特征•在平平腔中除了基模外，还有其他类型的模。在平平腔迭代中如果选取初值条件为：•可以通过迭代得到另一种形式的稳定解，如右图所示，图中的相对振幅在镜中心处为零，在镜边缘处也为最小值，然而在镜中心和边缘中间存在两个极值，在镜面上出现了场振幅为零的节线位置，整体的分布具有奇对称特性，这样的模称为条状腔的最低阶奇对称模，以TEM1表示。•腔中还存在着其他的高阶模式；01,010,xauxa11.2平行平面腔自再现模式的特征•2、镜面上的相位分布•右上图是基模在镜面上的相位分布，从其分布可知TEM0模不是严格意义的平面波，但当菲涅耳数较大时，仍然可以近似为平面波，特别是在镜面中心及附近区域；只有在镜边缘波前才发生微小的弯曲；•右下图是TEM1模的相位分布，在节线附近相位会发生突变，在被波节隔开的各个区域中都可以被近似为平面波。11.2平行平面腔自再现模式的特征•3、单程相移与谐振频率–A、单程总相移•计算方法：在迭代过程中，对镜面上的任一点，计算光波在腔内渡越一次后，在另一个镜面上坐标相同的点的振幅和相位的相对变化，即可得到相移；•表达式：其中kL为几何相移，为附加相移，与N有关，不同的横模有不同的附加相移；2mnmnkLLmn11.2平行平面腔自再现模式的特征•右图为不同横模的单程相移随N变化的曲线，从曲线中可以得出结论：–N相同时，基模的附加相移最小，高阶模的附加相移较大；–N较大时，在对数坐标中附加相移随N的变化曲线基本为直线；11.2平行平面腔自再现模式的特征•B、谐振频率–由自再现模稳定存在的条件可知：–以νmnq表示TEMmn模的谐振频率，则：–与前面得到的平面波理论中的谐振频率公式相比较，多了一项，它是由TEMmn模的附加相移引起的。222kLmnq22mnqmnqmnqkc2mnmnqcqL2qcqL2mnqmncL11.2平行平面腔自再现模式的特征•4、单程功率损耗–对于横模，无论是什么类型的谐振腔，其单程功率损耗的大小都是菲涅耳数的函数，右图是不同腔型的不同模式的单程功率损耗随N变化的曲线。•基模是平行平面腔的一切横模中损耗最小的；•对确定的横模，单程损耗由N单值决定，N越大，损耗越小；•低阶模，特别是基模，其损耗均低于均匀平面波的损耗；激光原理与技术·原理部分第12讲方形镜共焦腔自再现模式12.1衍射积分方程及其解析解•如右图所示的方形镜共焦腔，满足如下条件：•则两点之间的距离为：•从平平腔推导可知：•由球面镜几何关系：22,aLLaLa12121122(,,',')''''xyxyPPPPPPPP2212(')(')''22xxyyPPLLL221/2222111'()2xyPPLLxyL221/2222222'''('')2xyPPLLxyLaL2(',')Pxy121(,)PxyP1'P2'12.1衍射积分方程及其解析解•其自再现模υmn满足的积分方程为：•作如下变换：222222(')(')''(,,',')2222''2xxyyxyxyxyxyLLLLLxxyyLL''(,)(',')exp''abikLmnmnmnabixxyyxyexyikdxdyLL22,22ccXxYyaaakacNLL(,)()()mnmnxyFXGY''()()(')'(')'2ikLccYYiXXimnmnmnccieFXGYFXedXGYedY1mnmn其中12.1衍射积分方程及其解析解•通过分离变量求得：•寻找方形镜共焦腔自再现模的问题等价于求解这两个本征积分方程的本征值。该方程可以求出解析解：1/2'1/2'()(')'2()(')'2ikLciXXmmmcikLciYYnnncieFXFXedXieGYGYedY(,)()()(,/)(,/)mnmnomonxyFXGYScXcScYc,/,/,/,/omomononScXcScxaScYcScya其中为角向长椭球函数ikLmnmnie本征值()()2/(,)0,1,22/(,)0,1,2mlmomnlnonciRclmciRcln式中()()(,),(,)llomonRclRcl是径向长椭球函数12.1衍射积分方程及其解析解•将长椭球函数表达式代入本征值表达式可得：•长椭球函数满足关系：•该公式与衍射积分公式形式类似，其右边是角向长椭球函数的傅立叶变换，该公式说明长椭球函数的傅立叶变换等于其本身，即长椭球函数是实函数；•(1)式同(2)式共同决定了矩形腔中模式的相移与损耗；•以TEMmn表示共焦腔自再现模；(1)/2()()4(,)(,)(1)ikLmnllmnomonNeRclRcl1'()12(,)(,)(,')'micTTlomomomiRclScTeScTdT(,)(,/)(,/)(2)mnomonxyScXcScYc12.2镜面上场的振幅和相位分布•A、厄米-高斯近似–在时，在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数可以表示为厄米多项式与高斯函数的乘积：–其中Cm、Cn为常系数，Hm(x)为m阶厄米多项式。厄米多项式的最初几阶为：,xaya2222(),()(),()XmommmYnonnnXFXScCHXecYGYScGHYec22/220()(1)(1)!(2)0,1,2!(2)!mmXXmmkmmkkdHXeedXmXmkmk013223244()1;()2;()42;()812;()164312;HXHXXHXxHXXXHXXX12.2镜面上场的振幅和相位分布•当c→∞时，厄米-高斯函数是分离变量后的本征方程的本征函数；•c