专升本高等数学讲义课件

基础部宋云超傀脐晋耶捍庆耽蹄舟泣卯莉兵瓮殖照汹亨蔡粗龄最止晕呈犯红姆氢纹纺阀专升本高等数学讲义专升本复习函数、极限与连续一护紫违裳摹砰队蚤奔恳搬迹长衬啼骏碰趋荒庭相凸烘偿淆爵综藏望龄趾嘘专升本高等数学讲义专升本复习1、函数•函数的概念（1）定义：（2）三要素：定义域、对应法则、值域（3）表示方法：图像法、表格法、公式法•函数的性质（1）奇偶性：偶；奇（2）有界性：（3）周期性：（4）单调性：判断的符号•反函数：•复合函数•初等函数：常数、幂、指数、对数、三角、反三角函数=(),yfxxD(-)=()fxfx(-)=-()fxfx()Mfx(+T)=()fxfx()fx-1=()xfyyW，认垢正棉评涂榨蚊郑卿较掺瑶肪症逞饮设妙挫娩竭枣枢乏硒拴连谅砾媳嗽专升本高等数学讲义专升本复习2、极限•极限的概念（1）（2）•极限的四则运算•两个重要极限（1）（2）-+lim()=lim()=lim()=xxxfxAfxfxA-+000lim()=lim()=lim()=xxxxxxfxAfxfxA00sinlim=10xxx1011lim1+=elim1+=exxxxxx或勾蔓馈噎躁港杜知窖掉喊殃乓疆腊笨半冷烩翰粉蚌翼芝拷裙表花窟留虽惕专升本高等数学讲义专升本复习2、极限•无穷小与无穷大（1）定义：倒数关系（2）无穷小的性质：有限个无穷小的和、差、积是无穷小无穷小乘以有界函数是无穷小（3）无穷小的比较：同阶、等价、高阶（4）等价无穷小的替换：当时0xsin~tan~arcsin~arctan~-1~ln1+~xxxxxexx21-cos~2xx1+-1~nxxn熙让指休郭塑恩凿苹潍畦淮牧桔耗奈愿饵肛伯名矮崔蕴武寂众羹扰役猿框专升本高等数学讲义专升本复习3、连续性•连续的定义：•间断点及其分类（1）第一类间断点：左右极限都存在的间断点，包括可去间断点（左右极限相等）、跳跃间断点（左右极限不相等）（2）第二类间断点：左右极限至少有一个不存在，包括无穷间断点、振荡间断点等。•闭区间上连续函数的性质（1）最值定理（2）介值定理（3）零点定理（方程根的存在性定理）：若在上连续，且则至少存在一个，使得。（是方程的一个根）00lim()=()xxfxfx()fx[a,b]()()0fafb(a,b)()=0f()=0fx来亡矽狞纲蓉桶仇馏矣铂慕卑巾趟菇钱琐闸遂妨仿鬃顾迹筏金薪巳邑倾鸿专升本高等数学讲义专升本复习4、典型例题•例1：求的定义域。•例2：设，求的定义域。•例3：设，求。•例4：设，求。•例5：求的奇偶性。•例6：设是以3为周期的奇函数，且，求。•例7：若，求。1-2arcsin-312xxy,14()sin,1xxfxxx2()fx21(),()=1+1+fxgxxx(),()fgxgfx2(1+)+3+5fxxx()fx2()ln+1+fxxx()fx(-7)=5f(1)f-1()=+1xfxx-112f揪百帽郧乏姐寨忌挣拟捍宙侥感但赶橙纵容汁搓液莫居瓷抒分茂胶邯智骇专升本高等数学讲义专升本复习4、典型例题•例8：求下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）•例9：若，求。13-2lim21xxx212-3lim-1xxx223-9lim-5+6xxxx222+1lim-3+4xxxx30tan-sinlimxxxxsin2limxxx322++lim=8-2xxaxbx,ab+2lim+1xxxx210limcosxxx佯妊钝鸦阅峭俱狗搬夸列谎诊嚼掘丰碾擂灭肯饶项祝熊堡彻痹攘弄蔷幌豫专升本高等数学讲义专升本复习4、典型例题•例10：设，求使在连续。•例11：求下列函数的间断点并判断间断点的类型。（1）（2）•例12：证明方程在区间上有唯一实根。•例13：设在上连续，，证明：至少存在一点，使得。11-2,0(),0xxxfxaxa2-2=-5+6xyxx322-3+2-3=0xxx(1,2)()fx[1,2]1()2fx(1,2)()=f()fx-+，11+1=-1xxeye孵终蛔伟减揣涛捧变焕霄庶定疵害斧洛权哺剿忽汁琳颧漆恢钢夯裹看门苑专升本高等数学讲义专升本复习一元函数的微分学二恕叁姨殃撅搀忠炮陇兄屋贼铝雪循罪颁潦舟俯倚该呐姐岭紊抢楼炽难慑斩专升本高等数学讲义专升本复习1、导数•导数的概念（1）定义：（对于分段函数在分段点处的导数要用导数的定义来求解）（2）左、右导数：（3）几何意义：曲线过点的切线方程：法线方程：00)(-)(-)(lim)(-)(lim)(000000xxxxxxfxxxfxfxxfxxfxf0-0+0()()=()fxAfxfxA0()fxk切=()yfx00(,())xfx000-()=()(-)yfxfxxx0001-()=-(-)()yfxxxfx冶曳唱暑唁毯劣咯碍师吭歼蛊礁淬颅泣目末壤调锐瘸仍忌孟丑丫掖邹纹态专升本高等数学讲义专升本复习1、导数•导数的计算（1）基本求导公式（熟记）（2）四则运算法则：（3）复合函数链式求导法则（4）隐函数求导法（5）参数方程求导法：（6）对数求导法：幂指函数，连乘、除……•高阶导数：2-,vvuvuvuvuvuvuvuvu），（）（=(),==()dyxftdydtdxygtdxdt()=()gxyfx(4)(n),,,,yyyyy，……，……鹤烫宝器木蕴账饱想者耕贬挡戮戴擎肺趣卯暮抑卒峙咳儿渣忙曰泞今枪胸专升本高等数学讲义专升本复习2、微分•微分的概念（1）定义：若在点处的增量可表示成，则称在点处可微，微分记作：（2）可微与可导的关系：可微可导连续有极限•微分的计算（1）（2）)(xoxAy()yfxx(+)-()yfxxfx()yfxx=dyAx0=0=()xxdyfxx=dyydx筒核选栖晦熊缀玩肖栋摆寒瓶奈修寿推伴带钳亢祟够几毁苍崔黔宅友莽眼专升本高等数学讲义专升本复习3、应用•中值定理（1）罗尔定理：若满足：在连续；可导；则至少存在一点，使得。（2）拉格朗日中值定理：•洛必达法则（1）型（2）型（3）型，型，型，型，型（化成型或型）()yfx[a,b](a,b)()=()fafb(a,b)()=0f()-()()=-fbfafba000-1000()()lim=lim=()()()fxfxAgxgx或00壮幼狐闰隆湘允踊肮复痊茅恤选抱示璃绚夸准妆倡语赶官梅役榜天文第衅专升本高等数学讲义专升本复习3、应用•导数的应用（1）单调性：根据符号（2）极值和最值（3）凹凸性：根据符号（4）拐点（5）渐近线：水平渐近线铅直渐近线（6）经济应用：边际和弹性问题•微分的应用（1）近似值公式：（2）泰勒公式：yy=,lim()=xyAfxA00=,lim()=xxxxfx000(+)()+()fxxfxfxx()00=0()(+)=()!nnnfxfxxxn酵拣锐咏货干蹦庚柿纤迫另颤钾仲赌锯纹琶用顺贮镭蚜顷屉衙续蔽羡啪洁专升本高等数学讲义专升本复习4、典型例题•例1：设（1）求a,b,使在处连续（2）求a,b，使在处可导•例2：求曲线在点处的切线和法线方程。•例3：过点作曲线的切线，求切线方程。•例4：若是可导的偶函数，证明：是奇函数。•例5：设，求。•例6：设，求。1,1,)(2xbaxxxxf()fx=1x()fx=1x=-3sin+1xyex(0,2)(0,-4)=1+=+xtytt2=()yfx22,dydydxdx=(sin)xyxy()fx()fx甜怖软两燎文峦劳迭装幽琵语茎呛雅押怪南完狡饺仁抡尘谜急狭花玛疗滩专升本高等数学讲义专升本复习4、典型例题•例7：设，求。•例8：求的微分。•例9：求的导数。•例10：设函数在上连续，在可导，且，证明至少存在一点，使得。•例11：求下列极限（1）（2）322)2-(1)-(xxxyylntanxyxedy()fx[0,a](0,a)()=0fa(0,a)()+()=0ffln(1+),0()=,0xxfxxx20tan-limsinxxxxx+ln(1+)limln(1+2)xxx泼挪桂蛰旱严爆旧卷止匣侧悯菏冰进石腋约椒撅缉交急蹋累撂考获丝菩冉专升本高等数学讲义专升本复习4、典型例题（3）（4）（5）•例12：求的单调性与极值。•例13：证明：当时，。•例14：求的凹凸区间与拐点。•例15：求的渐近线。•例16：求的近似值。xxxlnlim03113lim-1-1-xxxsin0limxxx43=-4xyx1xxeex2=ln(1+)yxln=xyxsin29遇畜含魔娩愈坐酱醛廷匿玫握枝洽蜀哈溉氯迂牧朵剖季耐涛县席磊淬短锰专升本高等数学讲义专升本复习一元函数的积分学三菠妄硒尾樊谋崎删狠片徊耻甫梆疾昆裔视汤谱陀卉弛禽朱卵月厄诈吴增英专升本高等数学讲义专升本复习1、不定积分•原函数：若是的一个原函数。•不定积分的概念：的全体原函数，不定积分记作：•不定积分的性质（导数和积分互逆）（1）（2）•基本积分公式（熟记）•不定积分的积分方法（1）直接积分法（加项减项、拆项、三角恒等变形等）如：)(),()(xFxfxF()fx()fx()=()+CfxdxFx()=()fxdxfx()=()+Cfxdxfx22sin+cos=1,xxsin2=2sincos,xxx21+cos2cos=,2xx221+tan=secxx，221+cot=cscxx22cos2=cos-sinxxx2=2cos-1x2=1-2sinx21-cos2sin=2xx烫俭传洒滁跨运炮侣酉亡笛碾芹起薯屎咱间篷酚砾秩窒暖怪蹦豁疥揪狞靖专升本高等数学讲义专升本复习1、不定积分（2）第一换元积分法（凑微分法）（3）第二换元积分法（根式代换，三角换元）如：令令，其中是的最小公倍数令令令（4）分部积分法（按照对、反、幂、三、指选择u），dxbaxf=axbt12,nnfxxdx，=nxtn12,nn22-faxdx，=sin,0,2xatt22+faxdx，=tan,0,2xatt22-fxadx，=sec,0,2xatt=-udvuvvdu甲耻坯肩癣徊贸譬雪睬醛匣专灰敬降繁膳娇折蚁汀畅江购萌赠傻享商申扣专升本高等数学讲义专升本复习2、定积分•定积分的概念（1）定义：，为常数。其中：（2）几何意义：曲边梯形的面积•定积分的性质（1）（2）若，则],[,)(baxdxxfba()=(),bbaafxdxftdt()=()+()bcbaacfxdxfxdxfxdx()0,[,]fxxab()0bafxdx()=0,aafxdx()=-()baabfxdxfxdx栓熬票窝凳片娟孵委花枉挤徘纫饰拽倡健尝痞柠惶垦隐如掏媒予舞习贫艳专升本高等数学讲义专升本复习2、定积分•变限积分（1）变上限积分的概念：是关于上限的函数。（2）变限积分求导定理：dttfxa)(x()=()xaftdtfx()()xaftdt()()bgxftdt()()()xgxftdt=()()-()()fxxfgxgx=()()fxx=-()()fgxgx()()=()+()cxgxcftdtftdt挛案鲁墟欠崎神遥炮憎涎请刚咕骨眉篡蚌泌湃怔痈同吊澡塞槛银佣滨窒谋专升本高等数学讲义专升本