-两角和与差的正弦余弦和正切公式

菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考纲要求：1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[基础真题体验]考查角度[两角和与差的正弦、余弦、正切公式]1．(2014·课标全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解析】∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ＋cos(x＋φ)sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sinx，∴f(x)的最大值为1.【答案】1菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练2．(2013·课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.【解析】y＝sinx－2cosx＝515sinx－25cosx，设15＝cosα，25＝sinα，则y＝5(sinxcosα－cosxsinα)＝5sin(x－α)．∵x∈R，∴x－α∈R，∴ymax＝5.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练又∵x＝θ时，f(x)取得最大值，∴f(θ)＝sinθ－2cosθ＝5.又sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθ＝15，cosθ＝－25，即cosθ＝－255.【答案】－255菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练3．(2013·课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tanθ＋π4＝12，则sinθ＋cosθ＝________.【解析】∵tanθ＋π4＝12，∴1＋tanθ1－tanθ＝12，解得tanθ＝－13.∴(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋2tanθ＋1tan2θ＋1＝19－23＋119＋1＝25.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练∵θ为第二象限角，tanθ＝－13，∴2kπ＋3π4＜θ＜2kπ＋π，∴sinθ＋cosθ＜0，∴sinθ＋cosθ＝－105.【答案】－105菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考查角度[半角、二倍角公式]4．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos2α＋π4＝()A.16B.13C.12D.23菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解析】∵sin2α＝23，∴cos2α＋π4＝1＋cos2α＋π22＝1－sin2α2＝1－232＝16.【答案】A菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练5．(2013·江西高考)若sinα2＝33，则cosα＝()A．－23B．－13C.13D.23【解析】cosα＝1－2sin2α2＝1－2×332＝1－23＝13.【答案】C菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[命题规律预测]命题规律从近几年高考题看，和差角公式、二倍角公式是高考的热点，题型全面，考查三角函数式的化简、求值，难度中低档．考向预测预测利用和差角公式及二倍角公式进行三角函数的化简与求值仍是2016年的高考命题热点，利用公式的恒等变换解决有关三角函数的性质问题是必考内容.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考向一三角函数的化简求值[典例剖析]【例1】(1)(2013·重庆高考)4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1(2)(2014·福建高考改编)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－12，则f(x)的最小正周期为________．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【思路点拨】(1)借助商数关系、三角恒等变换及拆角技巧求解．(2)借助三角恒等变换公式，把函数解析式化简为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，进而求得周期．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解析】(1)4cos50°－tan40°＝4sin40°－sin40°cos40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝sin80°＋sin60°＋20°－sin60°－20°cos40°＝sin80°＋2cos60°sin20°cos40°＝sin80°＋sin20°cos40°＝sin50°＋30°＋sin50°－30°cos40°＝2sin50°cos30°cos40°＝3·cos40°cos40°＝3.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(2)因为f(x)＝sinxcosx＋cos2x－12＝12sin2x＋1＋cos2x2－12＝12sin2x＋12cos2x＝22sin2x＋π4，所以T＝2π2＝π.【答案】(1)C(2)π菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练1．三角函数式化简的原则三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练2．解决给角求值问题的基本思路对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正、负相消的项，消去求值；(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[对点练习](1)sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝________.(2)已知α∈(0，π)，化简：1＋sinα＋cosα·cosα2－sinα22＋2cosα＝________.【解析】(1)原式＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(2)原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2·cosα2－sinα24cos2α2，因为α∈(0，π)，所以cosα2＞0，即原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2·cosα2－sinα22cosα2＝cosα2＋sinα2·cosα2－sinα2＝cos2α2－sin2α2＝cosα.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【答案】(1)12(2)cosα菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考向二三角函数的给值求值与给值求角[典例剖析]【例2】(1)已知cosπ4＋x＝25，若1712π＜x＜74π，则sin2x＋2sin2x1－tanx＝________.(2)已知锐角α，β满足sinα＝55，cosβ＝31010，则α＋β＝________.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【思路点拨】(1)注意到x＝π4＋x－π4和2π4＋x＝π2＋2x，巧妙运用角的变换可求解．(2)由sinα，cosβ的值推出cosα与sinβ的值，求出cos(α＋β)的值可得α＋β的大小．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解析】(1)由1712π＜x＜74π，得53π＜x＋π4＜2π.又cosπ4＋x＝35，所以sinπ4＋x＝－45，所以cosx＝cosπ4＋x－π4＝cosπ4＋xcosπ4＋sinπ4＋xsinπ4＝35×22－45×22＝－210，从而sinx＝－7210，tanx＝7.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练则sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋2sin2x1－tanx＝2－7210·－210＋2－721021－7＝－2875.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(2)由sinα＝55，cosβ＝31010且α，β为锐角，可知cosα＝255，sinβ＝1010，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22，又0＜α＋β＜π，故α＋β＝π4.【答案】(1)－2875(2)π4菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练1．给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据所给角的范围求出来，代入展开式即可，其解题的关键是“变角”．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练2．给值求角要先求角的某个三角函数值，在选择函数时，遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值时，若角的范围是0，π2，选正、余弦均可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数；若角的范围是－π2，π2，选正弦函数．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[对点练习](1)设sinπ4＋θ＝13，则sin2θ＝()A．－79B．－19C.19D.79(2)在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，则C等于()A.π3B.2π3C.π6D.π4菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解析】(1)sin2θ＝－cosπ2＋2θ＝2sin2π4＋θ－1＝2×132－1＝－79.(2)由已知得tanA＋tanB＝－3(1－tanAtanB)，∴tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，即tan(A＋B)＝－3，又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝3，又0＜C＜π，∴C＝π3.【答案】(1)A(2)A菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演