考虑状态时滞的SISO非线性系统输出干扰解耦控制

361Proceedingsofthe26thChineseControlConferenceJuly26-31,2007,Zhangjiajie,Hunan,China考虑状态时滞的SISO非线性系统输出干扰解耦控制宾洋1，陈恳1，陈娜娜21.清华大学精密仪器与机械学系,北京100084E-mail:[e-mail]2.清华大学汽车工程系,北京100084E-mail:[e-mail]摘要：针对一类状态变量存在时滞的单输入-单输出(SISO)非线性系统输出干扰解耦问题，本文首先应用时滞算子描述该状态时滞SISO非线性系统，在此基础上利用扩展李导数、扩展李括号导出系统输出干扰解耦的充分必要条件，从而实现其解耦子系统的输入-输出线性化，并且给出干扰可测和不可测两种情况下的解耦反馈控制律，最后通过算例验证其有效性。关键词：非线性系统，时滞算子，扩展李导数，扩展李括号，输出干扰解耦OutputDisturbanceDecouplingControlofSISONonlinearSystemswithTimeDelayinStateVariableBinYang1,ChenKen1,ChenNana21.DepartmentofPrecisionInstrumentsandMechanics,TsinghuaUniversity,Beijing,100084,P.R.ChinaE-mail:[e-mail]gineering,TsinghuaUniversity,Beijing,100084,P.R.ChinaE-mail:[e-mail]:Inthispaper,theoutputdisturbancedecouplingproblem(ODDP)forasingleinputsingleoutput(SISO)nonlinearsystemswithtimedelayinstatevariableisstudied.Thetimedelayoperatorisaddressedandusedtodescribethenonlineartimedelaysystems.Then,thenecessaryandsufficientconditionsforODDPareachievedbyapplyingextensionLiederiva-tiveandextensionLiebracket,andtheinput-outputlinearizationofdecouplingsubsystemisalsorealizedatthesametime.Furthermore,twodecouplingfeedbackcontrolalgorithmsunderthedisturbanceisavailableandunavailableformeasure-mentsarediscussed.Atlast,theeffectivenessofalgorithmsisverifiedbyanillustration.Keywords:Nonlinearsystems,timedelayoperator,extensionLiederivative,extensionLiebracket,outputdisturbancede-coupling1引言(Introduction)在一般的实际工程领域中，很多时候必须解决既具有非线性特性，同时还受到时间滞后、外界干扰影响的工业系统，比如：汽车制动系统的响应时滞、化工过程系统的传输时滞等等。但由于非线性系统本身存在的复杂性和多样性，以及时滞、干扰因素带来的影响，因此，对具有时滞影响的非线性系统研究一直是控制界的一个重要课题。YawiA等提出一种积分状态变换[1]，实现了时滞线性控制系统的设计。高存臣等采用滑模变结构控制(SMC)方法，讨论了时滞非线性控制系统的镇定[2]及控制问题[3]。日本学者ToshikiOguchi等在文[4-5]中采用时滞算子和扩展李导数方法，实现了状态变量存在时滞的SISO非线性系统的精确线性化，并在此后的文[6]中结合SMC方法设计了干扰解耦控制器，有效地抑制了干扰变量对系统性能的影响。然而，该方法由于受到SMC中滑模面设计的限制，仅能够确保系统在滑模面上具有对干扰变量的不变性，而在滑模面以外系统仍受到干扰的影响。因此该方法对系统干扰变量的解耦是局部的。法国学者CHMoog、南非Pretoria大学的夏小华以及墨西哥CICESE的LAMarquez-Martinez等以非连续环(non-communicativerings)理论为基础，解决了时滞SISO非线性系统的输出干扰解耦问题[7-14]。但是，这些方法不仅需要满足较为复杂且严格的数学条件，而且解耦后的子系统仍维持原有的非线性形式，因此不利于后续步骤中控制器的设计。本文基于时滞算子的概念，针对一类状态变量存在时滞的SISO非线性系统输出干扰解耦问题，首先利用扩展李导数、扩展李括号，研究了系统输出干扰解耦的充分必要条件，以实现其解耦子系统的输入-输出线性化。在此基础上，进一步讨论了在干扰可测和不可测两种情况下，非线性系统解耦反馈控制律的求解方法，最后通过算例验证其有效性。2问题描述(ProblemDescription)考虑状态变量存在时滞的SISO非线性系统()()()()()()()()()()()()010101010()(),(),,()(),(),,()()(),(),,()()()()()(),(),,()()()fgphfffgggppphhhtttttttuttttwtttuttwtythttthttttttttttttttttttkkì=---ïï+---ïïï+---íï=-+-+-ïï=---=-ïï+=î&LLLLXFXXXGXXXPXXXFXGXPXXXXXXδ(1)式中，符号*t表示有限个正时滞常数,*t+ÎR，不失362一般性，令01fffftttL≤≤≤，01ggggtttL≤≤≤，01pppptttL≤≤≤,01hhhhtttL≤≤≤,且假设0*0t=。nÎRX是定义在某邻域上的n维状态变量，标量,,uywÎR分别为控制、输出和干扰变量。,,FGP为nR上充分光滑的实值向量函数，且G满足在平衡点0X时()00¹GX。h为充分光滑的非线性实值标量函数。()kδ是一个连续函数，代表初始条件，其中{}**maxtt+=ÎR，且*0tk-≤≤。首先介绍Morse关于时滞-微分系统的时滞算子概念[15-16]。定义2.1－时滞算子.设0it≥是正时滞常数，称is为将时间从t转化到itt-的时滞算子，且定义为()()iittsllt=-(2)其中，()tl是定义在区间[],ittt-上的函数。如果()j×是定义在区间[],ittt-上的()tl的函数，则时滞算子is满足如下运算法则：()()()()()()iiitttsjljsljlt==－(3)下面给出扩展李导数及扩展李括号的概念[4]。定义2.2扩展李导数.设(()(),t=σFX,FX)1(),,()kfftttt--LXX为nR上充分光滑的实值向量函数，()1(,)(),(),,()mtttfffftt=--LXσXXX为R上充分光滑的实值标量函数，其中，()tX、(),1iftikt-≤≤X及(),1itimft-≤≤X分别为nR上的无穷维可微向量场，,iifftt是正时滞常数，σ为包含有限个时滞算子is的向量场。这样，沿着()FX,σ的(,)fσX的微分定义如下：1(,)(,)(,)fffffss=¶¶=+¶¶åFXσFXσFXσXXiimdefiL(4)称为(,)fXσ对(,)FXσ的扩展李导数。其中，向量场表示为1,,nxxffféù¶¶¶=êú¶¶¶ëûLX(5)1,,iiinxxffffffssséù¶¶¶=êú¶¶¶êúëûLX(6)因此，(,)fFXσL是一个具有时滞的实值标量函数，即运算可以重复到高阶1(,)(,)ff+=FFFXσXσrrLLL(7)对于扩展李括号的定义，同样的可设()1(,)(),(),,()tt=--GXσGXXXLpggttt为nR上充分光滑的实值向量函数，()(),,1igttipt-≤≤XX为nR上的无穷维可微向量场，于是得到一个称为扩展李括号的新向量场()()()00,,,,ssss==¶éù=ëû¶¶+¶ååGFGXσFXσXFGXσXiijjpgigkfjf(8)其中，扩展李括号(),,éùëûFGXσ又可记做(),FGXσad。重复计算(),FXσ和(),GXσ的扩展李括号，有如下结果()()0,,=FGXσGXσad(9)()()1,,,1，≥-éù=ëûFFGXσFGXσiiadadi(10)注1如果*0t=，则以上运算与一般的李导数、李括号定义一致。3主要结果(MainResults)基于时滞算子is的概念，可将方程(1)重写为()()()()1111(),,,,,,(),,,()(,)(,)()(,)()(),,,(,)ssssssssì=+ïï+ïíï=++ïï==îXFXXXGXXXPXXXFXσGXσPXσXXXXσ&LLLLfgphffggppfgphhhtutwtutwtythh(11)下面给出干扰解耦问题的定义[17-20]。定义3.1干扰解耦问题.给定一个状态时滞SISO非线性系统(如式(11))，寻找反馈控制律()(,)(,)()ab=+XσXσuutvt(12)和坐标变换(如果可能)()(),=ZψXσt(13)使得由其构成的闭环系统中，输出y不受干扰w的影响，即实现状态时滞SISO非线性系统的输出干扰解耦。根据干扰变量w是否可测，状态变量时滞SISO非线性系统的输出干扰解耦又可分为干扰w可测和不可测两个问题分别进行讨论。首先给出干扰w不可测的输出干扰解耦定理。定理3.2假设系统(11)对于所有在平衡点0X附近的()tX存在正整数ng≤满足以下条件：()()i,0,0,,2g==-FGXσLihLLhi()()()()1,ii,0g-¶¹¶FgXσGXσXhLht()()()()111111111112211,iii,0,1,0,,≤≤≤≤gggggggssssssss-------¶¶´=+++++FgXσXGXσLLLLLiijjiijjhhhffhhffLhtijhfijijhf()()iv,0,0,1,,1g==-PFXσLjhLLhj则存在以下坐标变换363()()()()()1,,,,g-éùêúêú==êúêúêúëûFFXσXσZψXσXσMhhhhLhtLh(14)和反馈控制律()()()()()()()()()1,,,,,ggab-=+-+=¶¶FFgXσXσXσXσGXσXuhuhutvtLhvtLht(15)使得由此构造的闭环反馈系统的输出y不受干扰w的影响，且其输入-输出动力学特性可以用一个g维线性常微分方程描述，即()()()()()0uttvtyttì=+ïí=ïî&ZAZbcZ(16)其中，(≤)ng为系统的相对阶，实数矩阵0gg´ÎR，A1g´ÎRb，1g´ÎRc分别表示如下T0010001001000,00010000010éùéùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêú===êúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûëûAb,cLLMMOOMMMLLL证明首先假设在某一时刻系统状态变量的平衡点为0X，在此基础上计算输出(),Xσhh及其1,2,,jg=L次的时间导数()(),Xσjhh在点0X附近()tX的值。对输出变量(),Xσhh求一次导数，有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1max1d,,,d,,,,,,,,hfghpkf