c2.2速率方程组与粒子数反转

§2.4非均匀增宽介质的增益饱和§2.3均匀增宽介质的增益系数和增益饱和§2.5激光器的损耗与阈值条件第二章激光器的工作原理§2.2速率方程组与粒子数反转§2.1光学谐振腔结构与稳定性1本节介绍在增益介质中同时存在抽运、自发辐射、受激辐射和受激吸收诸多物理过程时，表示各能级粒子数密度变化规律的速率方程组讨论得出形成粒子数密度反转分布的条件，以及在粒子数密度反转分布状态下各参数之间的关系进一步定量讨论激光器的特性§2.2速率方程组与粒子数反转1、三能级系统:其中E1：基态能级，又是激光下能级，也是抽运能级。E2：激光上能级，是亚稳态能级。E3：抽运能级，寿命短，非辐射跃迁几率大。主要特征：激光的下能级为基态，极易积累粒子，发光过程中下能级的粒子数一直保存有相当的数量，对抽运的要求很高，所以不易实现粒子数反转。§2.2.1三能级系统和四能级系统主要特征：下能级E1不是基态能级，而是一个激发态能级，在常温下基本上是空的，有利于在E2和E1之间形成粒子数反转状态。其激励能量要比三能级系统小得多，产生激光要比三能级系统容易得多。E1:激光下能级(非基态能级，而是一个激发态能级，会迅速弛豫到E0)E2:激光上能级，亚稳态能级(易积累n2)E3:光抽运能级，迅速弛豫到E22、四能级系统:§2.2.1三能级系统和四能级系统多数激光器采用四能级系统，本节用四能级系统为例建立速率方程组。图中没有画出不稳定的E3能级吸收带，只画出了基态E0、下能级E1、上能级E2。n0、n1、n2分别为基态、下能级、上能级的粒子数密度，n为单位体积内增益介质的总粒子数；R1、R2分别是激励源将基态E0上的粒子抽运到E1、E2能级上的速率（单位时间增加的粒子数密度）202An101An)(212fBn)(121fBn212An1R2R2E1E0E图（2-5）简化的四能级图§2.2.2速率方程组E2能级在单位时间内增加的粒子数密度为E1能级在单位时间内增加的粒子数密度为总粒子数为各能级上粒子数之和以上三个方程组成增益介质中同时存在抽运、自发辐射和受激吸收、受激辐射诸多物理过程时，表示各能级粒子数密度随时间变化的的速率方程组)()()(1212122021222fBnBnAAnRdtdn10112121221211)()(AnfBnBnAnRdtdnnnnn210§2.2.2速率方程组§2.2.3稳态工作时的粒子数密度反转分布一、当激光器工作达到稳定时,抽运和跃迁达到动态平衡，各能级上粒子数密度并不随时间而改变，即：0210dtdndtdndtdn假设能级E2、E1的简并度相等，即g1=g2，因此有B12=B21，则有：0)()(211221222νfBnnAnRdtdn0)()(101211221211AnνfBnnAnRdtdn又因为E2能级向E1能级的自发跃迁几率A21远大于E2能级向基态E0的自发跃迁几率A20，所以A20+A21≈A21。§2.2.3稳态工作时的粒子数密度反转分布将上两式相加可得：12111110121)()(RRnnAnRR0)()(211221222νfBnnAnRdtdn0)()(101211221211AnνfBnnAnRdtdn)(1)()()(1)()()()()(2122121212221221121221212112122νfBνfBRRRνfBνfBRRRνfBAνfBRRRn代入由上几式可得：§2.2.3稳态工作时的粒子数密度反转分布2212122121121221022121221221()()()1()()1()1()RRRBfνnnnRRBfνRRRnBfνBfν则激光上下能级粒子数密度反转分布的表达式为：式中1、2分别为上、下能级的寿命。121220)(RRRn式中1211)(RRn)(1)()(212212121222νfBνfBRRRn§2.2.4小信号工作时的粒子数密度反转分布)(1)(1)(21202121212212νfBnνfBRRRnnn一、小信号工作时的粒子数密度反转分布022121()nRRR分母中的第二项为零时的粒子数密度反转分布值，是粒子数密度反转分布值可能达到的最大值。只有在谐振腔中传播的单色光能密度可能趋近于零(ρ→0即I→0)。参数n0对应着谐振腔的单色光能密度为零，或者近似为零时的粒子数密度反转分布的大小。参数n0对应着激光谐振腔尚未发出激光时的状态，通常把这个状态叫作小信号工作状态，而参数n0就被称作是小信号工作时的粒子数密度反转分布。二、小信号工作时的粒子数反转的物理条件022121()nRRR1、激光上能级E2的寿命要长，使该能级上的粒子不能轻易地通过非受激辐射而离开;2、激光下能级E1的寿命要短，使该能级上的粒子很快地衰减;3、选择合适的激励能源，使它对介质的E2能级的抽运速率R2愈大愈好，而E1能级的抽运速率R1愈小愈好。即满足条件1212RR§2.2.4小信号工作时的粒子数密度反转分布由式可知:激光工作物质的光谱线型函数对激光器的工作有很大的影响。具有均匀增宽谱线和具有非均匀增宽谱线的工作物质的反转密度行为有很大差别,由它们所构成的激光器的工作特性也有很大不同，本节只讨论均匀增宽型介质的粒子数密度反转分布情况。)(1)(1)(21202121212212νfBnνfBRRRnnn§2.2.5均匀增宽型介质的粒子数密度反转分布（2-7）对于均匀增宽的介质，其线型函数可以表示为：2202()()(2)νfνννν如果介质中传播的光波频率为v0，则有：Ic2122scνIB02()fνν且)(1)(1)(21202121212212νfBnνfBRRRnnn因此，当光波频率为v0时Is为饱和光强§2.2.5均匀增宽型介质的粒子数密度反转分布SIIIνcBνfB2)(2120212Iνcνf2)(0分母中第二项改写为：如果介质中传播的光波频率，则有：0νν)()()(0212νfνfIIνfBs均匀增宽型介质内粒子数密度反转分布可以表示为：2200220000)2)(1()(])2()[(1)()(1νIIννnνννIInνfνfIInnsss0νν0νν§2.2.5均匀增宽型介质的粒子数密度反转分布121220)(RRRn其中2200220000)2)(1()(])2()[(1)()(1νIIννnνννIInνfνfIInnsss0νν0νν这就是均匀增宽型介质内E2、E1能级间粒子数反转分布的表达式。它给出能级间粒子数反转分布值与腔内光强、光波的中心频率、介质的饱和光强、激励能源的抽运速率以及介质能级的寿命等参量的关系。(2-10)121220)(RRRn其中§2.2.5均匀增宽型介质的粒子数密度反转分布当腔内光强I≈0（即小信号）时，n最大，其值为n0，n0由能级寿命、抽运速率所决定。当腔内光强的影响不能忽略时，n将随光强的增加而减小，这种现象称为粒子数密度反转分布的饱和效应。饱和效应的原因是：入射光引起强烈的受激辐射使激光上能级粒子数减少。2200220000)2)(1()(])2()[(1)()(1νIIννnνννIInνfνfIInnsss0νν0νν(2-10)一、粒子数反转分布的饱和效应§2.2.6均匀增宽型介质粒子数密度反转分布的饱和效应121220)(RRRn二.△n与入射光频率v的关系讨论①0时:(入射光频率等于谱线中心频率)可见：I一定时，对不同入射光频率v，△n不同。sIInn10只要I≠0，必有nn0，有饱和效应;0IsI若I≈Is,n≈n0/2，饱和效应显著。这是因为中心频率处受激辐射的几率最大，故入射光造成的反转粒子数下降越严重(2-10)§2.2.6均匀增宽型介质粒子数密度反转分布的饱和效应2200220000)2)(1()(])2()[(1)()(1νIIννnνννIInνfνfIInnsss0νν0νν002222432)2/()2/(2)2/()2/(2nnnn0n20n043n结论:不论v是否偏离v0均有饱和效应;偏离v0越远,饱和作用越弱。210sII在处，若I≈Is时，§2.2.6均匀增宽型介质粒子数密度反转分布的饱和效应2200220000)2)(1()(])2()[(1)()(1νIIννnνννIInνfνfIInnsss0νν0νν讨论②0时:(入射光频率偏离谱线中心频率时)只要I≠0，必有nn0，仍有饱和效应;§2.2.6均匀增宽型介质粒子数密度反转分布的饱和效应讨论③为了更具体地说明频率对n的影响，令腔中光强都等于Is，根据上式算出几个频率下的n值，如下表，可以看出，随着频率对中心频率的偏离，光波对粒子数密度反转分布值的影响逐渐减小。频率0ν20νν2)1(210νIIνsνν0nnn020n20n032n031n043n041n065n061nνn2200220000)2)(1()(])2()[(1)()(1νIIννnνννIInνfνfIInnsss0νν0νν能使介质产生饱和作用的频率范围：§2.2.6均匀增宽型介质粒子数密度反转分布的饱和效应2200220000)2)(1()(])2()[(1)()(1νIIννnνννIInνfνfIInnsss0νν0νν通常采用与线型函数的线宽同样的定义方法，频率为0、强度为Is的光波使n0减少了n02，这里把使n0减少(n02)/2的光波频率与0之间的间隔，定义为能使介质产生饱和作用的频率范围，通常认为频率在此范围内的入射光才会引起显著的饱和作用。012sIνννI