c3.2对称共焦腔内外的光场分布

§3.4稳定球面腔的光束传播特性§3.3高斯光束的传播特性§3.1光学谐振腔的衍射理论1§3.5激光器的输出功率第三章激光的输出特性§3.6激光器的线宽极限§3.2对称共焦腔内外的光场分布§3.7激光光束质量的品质因子M2§3.2对称共焦腔内外的光场分布回顾——讨论自再现模积分方程解的物理意义,建立了激光模式的概念，以及激光器输出频率和频率间隔的计算方法。本节——求解对称开腔中的自再现模积分方程,求出本征值和本征函数，了解输出激光的具体场的分布，从而决定开腔自再现模的全部特征。'''''),(),,,(),(dsyxuyxyxKyxummmnmn),,,(),,,(''''''2),,,(yxyxikyxyxikeLieLikyxyxK(3-7)fLRR2211.方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为λ，并把x，y坐标的原点选在镜面中心,而以(x，y)来表示镜面上的任意点以方形镜面的对称共焦腔为例，求解(3-7)式自再现模积分方程§3.2.1共焦腔镜面上的场分布1）本征函数的近似解：LyYLxX2,2其中Hm(X)和Hn(Y)均为厄密多项式222YXe——高斯型函数mnC——常系数镜面上的场分布是厄密多项式与高斯函数的乘积——厄密多项式的零点决定了场图的零点，高斯函数决定了场分布的外形轮廓222)()(YXnmmnmneYHXHCu（3-18）'''''),(),,,(),(dsyxuyxyxKyxummmnmn(3-7),1)(0XH,2)(1XXH24)(22XXH22()(1)mmXXmmdHXeedX22)(,,aLLaaRL当满足条件§3.2.1共焦腔镜面上的场分布本征函数决定了镜面上的光场分布，其中:本征函数的模——决定振幅分布本征函数的幅角——决定相位分布本征值与单程衍射损耗和单程相移有关。2）本征值的近似解：]2)1((exp[nmkLimn（3-19）§3.2.1共焦腔镜面上的场分布1）本征函数的近似解：222)()(YXnmmnmneYHXHCu（3-18）1.方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解2.镜面上自再现模场的特征LyxnmmnmneyLHxLHCyxu22)2()2(),(（3-18）①基模：取式中m=n=0，得到共焦腔方形镜上基模TEM00场的分布1)(0xH因为LyxeCyxu220000),(所以(1)振幅（强度）分布基模在镜面上的分布是高斯型的，模的振幅从镜中心（x=y=0）向边缘平滑地降落。在离中心的距离为处场的振幅降落为中心处的1/e。Lyxr22§3.2.1共焦腔镜面上的场分布Ls②定义基模光斑半径为基模振幅最大值的1/e处基模光束的能量集中在光斑有效截面圆内。上式表明，共焦腔基模在镜面上的光斑半径与镜的横向尺寸无关，只与腔长有关。这是共焦腔的主要特征。LyxeCyxu220000),(§3.2.1共焦腔镜面上的场分布基模：例：L=1m,λ=10.6mm，共焦腔的CO2激光器ωs≈1.84mmL=30cm,λ=0.6328mm，共焦腔的He—Ne激光器ωs≈0.25mm可见，共焦腔的光斑半径非常小。Ls由可知,增大镜面宽度,只减少衍射损耗,对光斑尺寸并无影响.Ls基模光斑半径为§3.2.1共焦腔镜面上的场分布LyxsnsmmnmneyHxHCyxu22)2()2(),(00③高阶横模利用基模光斑半径，本征函数的解可以写为：当m、n取不同时为零的一系列整数时,由上式可得出镜面上各高阶横模的振幅分布，出现一条暗线时当00)exp(2210202201010uxyxxCussxxH2)(1因为故1)(0xH§3.2.1共焦腔镜面上的场分布，出现一条暗线时当00)exp()exp(22010222'012200101uyyxyCLyxyCussLyxsnsmmnmneyHxHCyxu22)2()2(),(00xxH2)(1因为故1)(0xH③高阶横模方向出现两条暗线时xuxyxxCLyxxCussss02)exp()4()exp(]224[2002022202'20222022020LyxsnsmmnmneyHxHCyxu22)2()2(),(001)(24)(022xHxxH因为故TEM201)(24)(022xHxxH因为故高阶横模方向出现两条暗线时yuyyxyCLyxyCussss02)exp()4()exp(]224[0202022202'02222020202LyxsnsmmnmneyHxHCyxu22)2()2(),(001)(24)(022xHxxH因为故高阶横模方向各出现一条暗线、在时时当yxuyuxyxxyCyxxyCusss0000)exp()exp(2411112022'112022021111LyxsnsmmnmneyHxHCyxu22)2()2(),(00xxH2)(1因为故TEM11高阶横模总结：m、n的数值正好分别等于光强在x，y方向上的节线(光强为零的线)数目，而且m、n的数值越大，光场也越向外扩展。高阶横模(2)相位分布由于为实函数,说明镜面上各点的光场相位相同,共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面),(yxumnLyxsnsmmnmneyHxHCyxu22)2()2(),(00①由自在现模umn(x,y)的辐角决定。2.镜面上自再现模场的特征§3.2.1共焦腔镜面上的场分布(3)单程衍射损耗：一般忽略不计，但是在讨论激光器单横模的选取时必须考虑单程衍射损耗。2.镜面上自再现模场的特征§3.2.1共焦腔镜面上的场分布（4）单程相移与谐振频率]2)1([argnmkLimnmnmnekLmnmnqmnLcLqcνnmmm222)1()]1(21[2nmqLcνmnqm而当q一定时，若m、n改变，则横模的频率也将发生变化，相邻横模频率间隔为qmnqqnmnqmnqnqmmvLcvvvvLcvvv2122121221,1,,1mm图(3-6)方形镜共焦腔的振荡频谱)]1(21[2nmqLcvmnqm从上式可以看出，共焦腔在频率上是高度简并的，（2q+m+n）相同的所有模式都具有相同的谐振频率。如：TEMmnq，TEMm-1，n+1，qTEMm，n-2，q+1，TEMm-2，n，q+1，TEMm+1，n-3，q+1等都有相同的频率。这种现象会对激光器的工作状态产生不良影响。因为所有频率相等的模式都处在激活介质的增益曲线的相同位置处，从而彼此间产生强烈的竞争作用，导致多模振荡,使输出激光光束质量变坏。普通激光器的输出都是多模的§3.2.1共焦腔镜面上的场分布§3.2.1共焦腔镜面上的场分布方形镜面共焦腔谐振频率)]1(21[2nmqLcvmnqm圆形镜面共焦腔谐振频率)]12(21[2nmqLcvmnqm§3.2.2共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布1.腔内的场分布通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上的场分布在腔内造成的行波求得，行波被反射镜M2反射产生传播方向相反的另一列行波，两列行波在腔内迭加成驻波,该驻波场的分布即腔内光场分布。Lz2定义将镜面场分布[式(3-18)]代入基尔霍夫衍射公式[式(3-1)]可得腔内场分布zyxiwyxywHxwHCzyxussnsmmnmn,,exp12exp212212,,222222图3-7计算腔内外光场分布的示意图上式表示TEMmn模在腔内任意点(x,y,z)处的场函数。其中,实部代表振幅,虚部代表相位222(,,)(1)(1)()212LxyxyzkmnLzyxiwyxywHxwHCzyxussnsmmnmn,,exp12exp212212,,222222（1）Hm，Hn——m阶、n阶厄密多项式，确定了场在x、y方向的大小及节线数目(2)高斯函数，随增大而变小]12exp[2222syx22yxr描述了波阵面上的相位分布，称为相位因子12arctanarctan12LzLz考虑到镜的适当透过率后，umn(x,y,z)也适用于腔外的场。腔外的光场就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分。实际上，就是行波函数乘以镜面的透射率t。2、腔外的场分布作业：P73:3