数学在物理中的应用

1数学在物理中的应用陈益尖前言物理要创新，不仅仅光靠物理实验，还要有数学做为理论基础。象著名的物理学家——牛顿，谁都可能看到苹果落地，也可想到引力作用，你推导不出规律，而他可以推导出万有引力定律，正因为他有深厚的数学功底，并且会运用数学解决物理问题，而一般人没有。象著名的物理学家——爱因斯坦，由于他有高深莫测数学理论，导出了质能能方程，提出了相对论。他们既是物理学家，又是数学家。然而，在我们教的学生中，有很多这样学生，数学很好，物理很差，反之，物理很好，数学很差。如何做到两者并进呢？就必须有这样一本指导性的书，让他们学好数学，用好物理，因此，今天，我将自已的《数学与物理》一书，提供给大家，希望喜欢。目录第一章、几何与矢量一、平面几何与矢量二、解析几何与物理三、立体几何在物理中的应用2第二章、方程与物理一、方程与物理二、判别式的应用第三章、函数的应用一、函数图像的应用二、性质的应用第四章、三角与物理第五章、数列与物理第一章、几何与物理一、三角形与矢量矢量，因有三角形而精彩，三角形，因有矢量而实用。在矢量的合成和分解中，我们应用平行四边形定则进行运算，其实在运算过程中，主要是运用三角形性质，解决问题。那么，三角形在矢量中，除了直角三角形（其他资料上，讲的比较多，不再讲）外，其他任意三角形，有哪些应用？两个三角形相似比的应用例1如图所示，绳与杆均不计重力，所承受弹力的最大值一定，A点正上方（滑轮大小及摩擦均可忽略），B端吊一重物3P。现施拉力T将B端缓慢上拉（绳、杆均未断），在杆达到竖直前，下列说法中正确的是A、绳子越来越容易断B、绳子越来越不容易断C、杆越来越容易断D、杆越来越不容易断分析：OB绳子的拉、物体的重力、AB杆的弹力共点在B点，设OB=S（变小），AO=H（定量），AB=L（定量）。滑轮大小不计，对B点受力分析，如图可知△ABO∽△PCB，得出对应边成比例，则T/G=S/H即T=SG/H变小N/G=L/H即N=LG/H=恒量可得：B答案正确。余弦定理的应用例2、物体受到夹角为120°的两个共点力作用，它们的大小分别为10N、20N，则物体合力的大小为多少？分析：根据平行四边形定则，合外力平分的两个三角形，不可能是直角三角形，只能运用余弦定理求解，这两个三角形4中，其中的一个角为180°-120°=60°，则有F=60cos2212221FFFF=2120102201022=310N余弦定理的应用，在二十世纪80年代，使用的甲种本课本有详细论述。正弦定理的应用例3、如图，用两条绳子拉质量为G的物体，平衡时，两条绳子跟竖直方向的夹角分别为1、2，求两条绳子的拉力？分析：如图，根据平衡条件，由△ABD得)sin(sin2112GT即)sin(sin2112GT)sin(sin2121GT即)sin(sin2121GT三角形在物理中，还有其他的应用。不再做一一分析。二、解析几何与物理解析几何在中学阶段，在物理中的应用，很少看到。它究竟有没有功用，如何去开发？根据本人的理解如下。5确定物体运动的轨迹物体运动轨道，一般都是由物理现象，物理实验观察出来，很少通过理论进行推导，例如平抛运动，我们完全可以通过数学推导，得出平抛运动的轨迹是一条抛物线。推导：在水平方向上有tvx0⑴在竖直方向上有221gty⑵⑴、⑵两式，显然是关于时间的参数方程，把时间化去得2202xvgy从这个方程中，看到它的轨迹，是一条抛物线。通过观察和数学推导，更加加深我们对平抛运动的理解。例1、质量数为m、质子数为q的原子核，在垂直于匀強磁场方向的平面上，由静止发生衰变，变为新核的运动轨迹为222ryx，求粒子运动的圆心轨迹？分析：设新核的质量数为1m，粒子的质量数为m，根据动量守恒定律得vmvm11⑴由牛顿第二定律得对新核有rvmqBv21111即rvmBq111⑵6对粒子有RvmBev22即RvmBe2⑶由电荷守恒得eqq21⑷由⑴、⑵、⑶、⑷联立解得reeqR22由左手定则，可知粒子与新核的运动，是一个外切圆，圆心之间的距离为reqreeqrRrd222可见，粒子运动的圆心轨迹为222)2(reqyx已知轨迹方程求物理量例2、一带电粒子，在垂直于磁场方向的平面运动，运动轨迹为4)4()3(22yx，两坐标轴都以m为单位，粒子运动的速率为2m/s，在某时刻，突然撒去磁场，粒子恰好经过原点，求从撒去磁场到粒子达到原点的时间为多少？分析：撒去磁场时，粒子以2m/s做匀速直线运动，离开时，必于原来的圆轨道相切，圆心、原点、切点构成一个直角三角形，圆心与原点的距离为md54322圆的半径为mr2根据勾股定理得原点与切点的距离为ms212522从撒去磁场到粒子达到原点的时间为svst221无论粒子沿轨道顺时针（或逆时针）运动，结7果一样。三、立体几何在物理中的应用立体几何在物理中的应用，主要是将立体几何在数学中证明与计算的空间思维能力，潜移默化到物理中来，也就是在解决问题时，将三维空间转化为二维空间，简化解决问题的方法。例1、如图，A、B两质点以相同的水平速度0v抛出，A在竖直平面内运动，落地点为1p，B在光滑斜面上运动，落地点为2p，不计阻力，比较1p、2p在轴x方向上的远近关系是A、1p较远B、2p较远C、1p、2p等远D、A、B都可能分析：A在竖直平面内运动，说明A做平抛运动，则得水平位移为ghvx201B在光滑斜面上运动，设倾斜角为，得沿斜面向下的加速度为singa8B在斜面做类似平抛运动，在沿斜面向下的方向有2sin21sintgh即ght2sin1水平方向的位移为ghvx2sin02即1022xghvx可知2p较远应选B本题主要是将立体问题转化为平面问题求解，也就是数学，常用的一种思路。例2、如图，一直角斜槽（两槽面间夹角为900，两槽面跟竖直面的夹角均为450）对水平面的倾角为，一个横截面为正方形的物块恰能沿此斜槽匀速下滑，假定两槽面的材料和槽面的情况相同，求物块和槽面之间的动摩擦因数u。分析：本是立体问题，将它转化为平面求解，如图（1），正方形的物块与直角斜槽。两个面接触，有两个大小相等的弹力N，由力的合成得出它们为N2方向垂直斜槽底边向上，如图（2）在垂直斜槽底边的方向上有9cos2mgN⑴在平行斜槽底边的方向上有sin2mgNu⑵由⑴、⑵解得tan22u第二章、方程与物理一、方程与物理方程，在物理中，不仅在推理物理规律方面，起着关键性作用，而且在解决物理问题方面，更是必不可缺的资源。在数学中，方程的种类众多，而在我们中学阶段，应用方程解决物理问题，主要是多元一次方程组，一元二次方程10等等。在解决问题时，一般都是由物理条件和物理规律，先建立方程，后根据方程求解，得出需求量。例1、某同学在斜向上运动的电梯上，以相对电梯不变的速度，从二楼走到一楼，数得电梯阶级60，从一楼走到二楼，数得电梯阶级20，求从一楼到二楼电梯的级数。分析：由于只知上去和下来电梯的级数，电梯速度、人相对地速度、人相对电梯速度都不知，要得所求，先建立上去一个方程，下来一个方程，还不够，再根据运动合成的等时性，最后可求。解：设从一楼到二楼电梯的级数为N，上去时，电梯运动的级数为M′，下来时，电梯运动的级数为M″，可得上去时有20+M′=N（1）下来时有60-M″=N（2）根据等时性得M′/M″=20/60=1/3（3）联立上面方程组解得：N=30本题还有其他解。例2、将物体以初速度20m/s，竖直上抛，求物体经过离抛出点10m高处，所用时间是多少？（g=10m/s2）分析：因为物体上升的最大高度为H=mgv20102202220，所以物体经过10m高处有两个解，物体运动过程是匀减速运动，利用匀减速运动规律，列一个一元二次方程，即可求。11解：设物理经过10m高处，所用时间为t,得H=2021gttv即0242tt解得：221t222t当然，还有其他解法。关于运用方程解决物理问题，举不胜举，就讲这么多。二、判别式的应用一元二次方程有没有解，是通过判别式来判定，当Δ0时，有两个解；当Δ=0时，有一个解；当Δ0时，没有解。两个物体运动中相遇的问题，是否能通过判别式来判定呢？下面即这个问题进行讨论。例1、有一直轨道很长，可以通过两个物体A、B不发生相碰，B在A前方100m处，A以20m/s速度做匀速直线运动，同时B也以2m/s²的加速度从静止开始做匀加速度直线运动，则A、B物体是否相遇，若相遇，有多少次？思路：由于同时出发，若相遇，所用时间相同，设时间，根据位移的关系建立一个关于时间的二次方程。直接解方程，或利用判别式求解。解：设A、B两物体从出发到相遇的时间为t,则A经过的位移为12vtSA=20tB经过的位移为221atSB=2t依题意得100BASS即2t-20t+100=0(这就是一个关于时间的二次方程)根据判别式Δ=（-20）²—4×100×1=0可知A、B相遇，且只有一次。若本题变为：有一直轨道长为150m，可以通过两个物体A、B不发生相碰，B在A前方100m处，A以20m/s速度做匀速直线运动，同时B也以2m/s²的加速度从静止开始做匀加速度直线运动，A、B物体是否在直轨道内相遇?分析:假设它们相遇，仍得到2t-20t+100=0若用判别式判断，显然是错的，用求根法判断，可得到它们不能在直轨道内相遇。这两题告诉我们，使用判别式时，要注意物理条件，在条件允许的情况下，可用，不能乱套数学公式。例2、在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心的距离大于L（L比r大得多）时，两球之间无相互作用力，当两球心间的距离等于或小于L时，两球之间存在相互作用的恒定斥力F，设A球从远离B球处以速度V0沿两球心连线向原来静止的B球运动，欲使两球不发生接触，V0必须满足什么条件？13思路：当A进入两球心间的距离等于L时，B开始做初初速度为零的匀加速直线运动，同时A也开始做匀减速直线运动，假设它们经过t时间发生接触，建立一个二次方程式，再运用判别式求解。解：设A进入两球心间的距离等于L时，到两球恰好接触，所用时间为t根据牛顿第二定律A球加速度为mFaAB球加速度为mFaB2A球运动的位移为202tmFtvsAB球运动的位移为24tmFsB如图得LsrsBA2即024302rLtvtmF由于两球不接触，上式没有解，则Δ=)2(434)(20rLmFv0得mrLFv)2(30小结1、运用判别式解决物理问题时，先要建立一个关于某物理量的二次方程，再求解；2、使用时要注意物理条件，在条件允许的14情况下，可用，不能乱套数学公式。第三章、函数的应用一、函数图像的应用物理规律，大都是运用函数图像，定性、定量进行研究，最后得出物理规律。函数图像，在物理中，可以说是遍地开花。它通过数形结合，直观、形象地反映物理过程。加深人们对物理规律的理解，下面谈谈函数图像的应用。分析实验数据得出物理规律在物理实验中，先采取了控制变量法，测出两个物理量的数据，然后，进行数据分析：一种是计算法，另一种是图像法。而后一种更被人们认可，因为有些实验数据，无法通过计算，得到两个量之间的关系。只有图像法，以两个量分别为两条坐标轴，建立直角坐标，描点画出图像，就可以通过图像，定性或定量分析它们之间的关系，得出规律。所以函数图像，在实验数据分析中，起决定作用。运用函数图像解决物理问题函数图像，不光是在实验数据分析中，起决定作用，而且在解决物理问题中，化难为易，化复杂为简单，起到事半功倍的作用。15例1、做匀变速直线运动的物体，在某一段时间内，经过中点时刻的速度跟经过中点位置的速度，比较谁大。分析：假如先设初、未速度，再根据经过中点时刻的速度1v与经过中点位置的速度2v分别跟初、未速度的关系，列方程，然后，运用不等式求解，要大费周折，才