微积分-积分公式定理集锦

北京理工大学微积分-积分定理集锦常用积分公式定理程功2010/12/221定理1.积分存在定理1）(),(),.fxabfxab当函数在区间上连续时，称在区间上可积2）(),,fxabfxab设函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积。.1[()()]()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx2性质：（此性质可以推广到有限多个函数求和的情况）。2.()()bbaakfxdxkfxdxk性质为常数性质3：()()()bcbaacacbfxdxfxdxfxdx假设，（定积分对于积分区间具有可加性）性质4:1bbaadxdxba性质5：()0,(),0()bafxfxdxbaba如果在区间上则推论（1）：如果在区间[,]ab上，()fxgx则()()()bbaafxdxgxdxab推论（2）：()()bbaafxdxfxdxab性质6：设M及m分别是函数fx上的最大值与最小值，则()()()bambafxdxMba3.定积分中值定理如果函数fx在闭区间,ab上连续，则在积分区间,ab上至少存在一点，使()()()()bafxdxfbaab4.积分上限函数函数的性质如果fx在,ab上连续，则积分上限的函数()()xaxftdt在,ab上具有导数，且导数为()()()()xadxftdtfxaxbdx补充：如果ft连续，ax、bx可导，则()()()()bxaxFxftdt的导数()Fx为()0()()bxFxftdtfbxbxfaxax5．原函数存在定理如果fx在,ab上连续，则积分上限的函数()()xaxftdt就是fx在,ab上的2一个原函数。定理的重要意义：1）肯定了连续函数的原函数是存在的.2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.6.牛顿-莱布尼茨公式如果()Fx是连续函数fx在区间,ab上的一个原函数，则()()()()bbaafxdxFbFaFx7.不定积分的性质(1)[()()]()();fxgxdxfxdxgxdx此性质可推广到有限多个函数之和的情况(2)()()0kfxdxkfxdxkk是常数，8.换元公式设fu具有原函数，()ux可导，则有换元公式()[()]()[()]uxfxxdxfudu常见类型：11.();nnfxxdx()2.;fxdxx(ln)3.;fxdxx21()4.;fxdxx5.(sin)cos;fxxdx6.();xxfaadx27.(tan)sec;fxxdx2(arctan)8.;1fxdxx设()xt是单调的、可导的函数，并且()0t，又设[()]()ftt有原函数，则有换元公式()()[()]()txfxdxfttdt，其中()x是()xt的反函数。三角代换的目的是化掉根式，一般规律如下：当被积函数中含有：22(1)ax可令sin;xat22(2)ax可令tan;xat22(3)xa可令sec.xat简单无理函数的积分:讨论类型：(,)nRxaxb(,)naxbRxcxe解决方法:作代换去掉根号．;;nnaxbtaxbtcxe令令9.分部积分设函数()uux和()vvx具有连续的导数，,uvuvuvuvuvuv,uvdxuvuvdxudvuvvdu。（分部积分公式）分部积分顺序：反、对、幂、指、三前者为u。10.有理函数化为部分分式之和的一般规律：3（1）分母中若有因式()kxa，则分解后为121,()()kkkAAAxaxaxa其中12,,,kAAA都是常数。特殊的，1k分解后为;Axa（2）分母中含有因式2()kxpxq，其中240pq，则分解后为11222212()()kkkkMxNMxNMxNxpxqxpxqxpxq其中,iiMN都是常数(1,2,)ik。特殊的1k分解后为2;MxNxpxq11.将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：（1）多项式：(2);()nAxa2(3);()nMxNxpxq讨论积分：2,()nMxNdxxpxq222,242pppxpxqxqxt令,MxNMtb22,,42pMpaqbN则22222()()()nnnMxNMtbdxdtdtxpxqtata(1)1,n2MxNdxxpxq22ln()arctan;2pxMbxpxqCaa(2)1n2221221.()2(1)()()nnnMxNMdxbdtxpxqntata这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数结论：有理函数的原函数都是初等函数12.三角函数有理式积分三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为(sin,cos)Rxx222tan2tan22sin2sincos,22sec1tan22xxxxxxx2222221tan1tan22coscossin,22sec1tan22xxxxxxx4令tan2xu，2arctanxu则：22sin1uxu221cos,1uxu221dxduu2222212(sin,cos),.111uuRxxdxRduuuu13.定积分换元公式设()fx在[,]ab上连续，函数()xt在],[上是单值的且有连续导数；当()fx在区间,ab上变化时，()xt的值在,ab上变化，且(),()ab，则有()[()]()bafxdxfttdt。注意：（1）用()xt把变量x换成新变量t时，积分限也相应改变。求出[()]()ftt的一个原函数()t后，不必像计算不定积分那样再要把()t变换成原变量x的函数。而只要把新变量t的上下限分别代入()t然后相减就行了。14.定积分分部积分公式设函数ux、()vx在区间,ab上具有连续导数，则有bbbaaaudvuvvdu15无穷限广义积分设函数()fx在区间,a上连续，取ba，如果极限lim()babfxdx存在，则称此极限为函数()fx在无穷区间,a上的广义积分记作()afxdx()lim()baabfxdxfxdx当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散。类似的，设函数()fx在区间,b上连续，取ba，如果极限lim()baafxdx存在，则称此极限为函数()fx在无穷区间,b上的广义积分记作()bfxdx()lim()bbaafxdxfxdx当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散。设函数()fx在区间,上连续，如果广义积分00(),()fxdxfxdx都收敛，则称上述两广义积分之和为函数()fx在无穷区间,上的广义积分记作()fxdx0000()()()lim()lim()baabfxdxfxdxfxdxfxdxfxdx当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散。516.无界函数的广义积分设函数()fx在区间(,]ab上连续，而在点a的右邻域内无界．取0，如果极限0lim()bafxdx存在，则称此极限为函数()fx在区间(,]ab上的广义积分，记作()bafxdx0()lim()bbaafxdxfxdx当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散。设函数()fx在区间[,]ab上除点()cacb外连续，而在点c的邻域内无界.如果两个广义积分()cafxdx和()bcfxdx都收敛，则定义()bafxdx()cafxdx()bcfxdx00lim()lim()cbacfxdxfxdx否则，就称广义积分()bafxdx发散.定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.说明：若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点,则本质上是常义积分,而不是广义积分，例如：211111d(1)d1xxxxx17.微元法的一般步骤1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间[,]ab；2）设想把区间[,]ab分成n个小区间，取其中任一小区间并记为[,]xxdx，求出相应于这小区间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示为[,]ab上的一个连续函数在x处的值()fx与dx的乘积，就把()fxdx称为量U的微元且记作dU，即()dUfxdx；3）以所求量U的微元()fxdx为被积表达式，在区间[,]ab上作定积分，得()baUfxdx，即为所求量U的积分表达式.应用方向：平面图形的面积、体积；平面曲线弧长；功；水压力；引力和平均值等．18.几何应用1）面积计算直角坐标系：()baAfxdx[()()]dcAyydy参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程()()xtyt曲边梯形的面积21()()ttAttdt（其中1t和2t对应曲线起点与终点的参数值）在[1t,2t]（或[2t,1t]）上()xt具有连续导数，()yt连续.6极坐标情形设由曲线()r及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里，()在[,]上连续，且()0．面积元素21[()]2dAd曲边扇形面积21[()].2Ad2）旋转体体积：一般地，如果旋转体是由连续曲线()yfx、直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积微元：2[()]dVfxdx体积：2[()]baVfxdx类似地，如果旋转体是由连续曲线()xy、直线yc、yd及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为2[()]dcVydy思考：如果曲线由参数方程表示，如何求旋转体的体积？2211222[()][()]()[()]()bttattVfxdxytdxtytxtdt3）平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.()Ax表示过点x且垂直于x轴的截面面积。()Ax为x的已知连续函数(),dVAxdx立体体积().baVAxdx4）平面曲线弧长设,AB是曲弧上的两个端点，在弧上插入分点011,,,,,innAMMMMMB并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长11||niiiMM的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长.直角坐标情形设曲线弧为()yfx()axb，其中()fx在[,]ab上有一阶连续导数取积分变量为x，在[,]ab上任取小区间[,]xxdx，以对应小切线段的长代替小弧段的长小切线段的长222()()1dxdyydx弧长元素21dsydx弧长21basydx7参数方程情形曲线弧为(),()()xttyt其中(),()tt在[,]上具有连续导数.2222222()()[()()]()()()dsdxdyttdtttdt