微积分A前三章习题

《微积分A（一）》课程练习题第一章函数、极限、连续基础类A：一、选择题1．若函数()fx在某点0x极限存在，则（）A．()fx在点0x的函数值必存在且等于该点极限值B．()fx在点0x的函数值必存在,但不一定等于该点极限值C．()fx在点0x的函数值可以不存在D．+0()fx与0()fx可以不相等2.下列说法正确的是（）A.有界数列必有极限B.无界函数必是无穷大C.趋于无穷大的数列必无界D.函数的极限存在的点必是有定义的点3．下列极限中，极限值为1的是（）A．sinlimxxxB．0cotlimxxxC．01coslimxxxD．1limsinxxx4．nennsin)1(lim1=（）A．0B．1C．不存在D．∞5．设10(1)()0xxxfxkx在点0x处连续，则k=（）A．1B．eC．1eD．16．设1(),()11xfxgxxx，则当1x时()A．()fx是比()gx高阶的无穷小B．()fx是比()gx低阶的无穷小C．()fx与()gx是同阶但不是等价无穷小D．()fx与()gx是等价无穷小；7.函数4xye有界且至少有一实根的区间是()A．［0，3］B．［1，0］C．(，1)D．［2，4］二、填空题1．3235limsin(79)53xxxx.2.330lim1xxaxe，则a.3.当0x时，221sinxx是x的无穷小.4.1111242lim1111393nxn.5.1lim1xxx.6.若2sin2e1,0,0axxxfxxax在,上连续，则a.三、计算题1．22468lim54xxxxx2．111lim(1)242nn3．2251lim4xxxx4.)1311(lim31xxx5.113232limnnnnn6.3(1)(2)(3)lim5nnnnn7.201limsinxxx8.01cos2limsinxxxx9.2220tanlim(1cos)xxxx10.xxx1cos1lim211.21lim1xxx12.3lim()1xxxx13.301tan1sinlimxxxx14.03limsintanln12xxxx15.2sinlim5cosxxxexex16.01coslim1cosxxx17.)cos112sin(lim0xxxx18.3111lim1cosxxxx19.已知212lim31xxaxbx，其中ba,为常数,求常数,ab的值.20.1lim123nnnn四、讨论下列函数中所指出的间断点，并判断间断电的类型属于哪一类。1.221,1,232xyxxxx；2．,0,,;tan2xyxx；五、证明题1.证明方程531xx至少有一个根介于1和2之间.2.设()fx在[0,2]a上连续，且(0)(2)ffa.证明：0,a，使得()ffa.3.设114,23nnxxx,,2,1n，求证nnxlim存在并求之.提高类B：1.tan2lim(sin)xxx2.402sinlim||1xxxexxe3.222111lim()12nnnnn4.设函数1,0aaaxfx，求21limln12nfffnn.5.设()fx在0x处连续，若12sin0()lim(1)xxfxex，求20()limxfxx.第二章导数与微分基础类A：一、选择题1．如果)(xf是ll,上的可导奇函数，则)(xf是ll,上的（）．A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．可能是奇函数也可能是偶函数2．设21sin0()0,0xxfxxx，，则()fx在0x处（）．A．连续、可导B．连续、不可导C．既不连续也不可导D．无法判断3．函数()yfx在点0x处有增量0.2x，对应函数增量的线性主部等于0.8，则0fx（）．A．4B．0.16C．4D．1.64．设函数()fx在0x处可微，当0x时y与dy的关系是（）．A．y与dy是同阶无穷小B．y与dy是等价无穷小C．y是比dy高阶的无穷小D．y是比dy低阶的无穷小5.设23,1()2,13xxfxxx，则)(xf在1x处（).A.左右导数都存在B.左导数不存在，但右导数存在C.左导数存在，但右导数不存在D.左右导数都不存在6．曲线xysin2在)2,0(处的切线与x轴正方向的夹角().A.0B.1C.2D.4。二、填空题1.设)(xf在0x处可导，则hxfhxfh)()2(lim000___________．2．设)(xfy具有连续的一阶导数，若1)2(f，ef)2(,则11)(xxf．3．设332)21())(1(xexxyx，则y．4．设)1ln(axy其中a是常数，则)(ny5.d（）=3xedx。6．设)2013()3)(2)(1(xxxxxeyx，则0xy________________7．设)(lnxfy，其中f可导，则y__________________三、计算题求下列函数的导数1.223)1(xxy；2.xxysin；3.bxeyaxsin；4.)ln(22axxy；5.11arctanxxy；6.xxxy)1(。7.已知arctan1(1)xyx，求'y．8.设2()ln(3)fxxx，求(1)f．9.设22()ln(4)xfxexx，求(0)f．10.设tansin4xyx，求4xy。11.求方程0)cos(sinyxxy确定的隐函数的导数dxdy；12.已知,exyey求)0(y；13.求参数方程)cos1()sin(tayttax)0(a所确定函数的一阶导数dxdy与二阶导数22dxyd。14.,xy求)(ny；15.,2sin2xxy求)50(y;16.求函数)0(,xxyx的微分;17.求函数21arcsinxxy的微分；18.设2()yfxa,其中()fx存在,求22dydx；19.设函数()yyx由参数方程229ln9xtyt所确定，求22dxyd.20.设参数方程3arctanxttyt确定了函数)(xyy，求22ddyx.21.设)(xyy是由方程11ln)sin(yxxy所确定的隐函数，求)0(y。四、应用题1.设0sin0)(2xaxxbexfx问ba,为何值时，)(xf在0x处可导．2.求双曲线12222byax，在点)3,2(ba处的切线方程与法线方程。3.设函数()yyx是由方程23e0xyxy所确定的隐函数,求曲线()yyx在点(0,1)处的切线方程.4.求曲线1lnyxy在点（1，1）处的切线方程。五、证明题1.证明：双曲线2xya上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a．2.33333,,,22CxyxyCC设曲线的方程为求过上点的切线方程并证明曲线3.2222822xyxy试证曲线与曲线(2,2)().在点处垂直相交正交.在该点的法线通过原点第三章微分中值定理与导数的应用基础类A一、选择题1.罗尔定理中的三个条件:)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且)()(bfaf，是)(xf在),(ba内至少存在一点，使0)(f成立的（）．A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件2.下列函数在]1,1[上满足罗尔定理条件的是（）．A.xexf)(B.||)(xxfC.21)(xxfD.0,00,1sin)(xxxxxf3.若)(xf在),(ba内可导，且21xx、是),(ba内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（）．A．),()()()()(2112bafxxxfxfB．)()()()(2121fxxxfxf在12,xx之间C．211221)()()()(xxfxxxfxfD．211212)()()()(xxfxxxfxf4.下列各式运用洛必达法则正确的是（）A．nnnnnenlnlimlim11limnneB．xxxxxsinsinlim0xxxcos1cos1lim0C．xxxxxxxxxcos1cos1sin2limsin1sinlim020不存在D．xxex0lim=11lim0xxe5.在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（）A．xxxsinlim20B．xxxtan0)1(limC．xxxxsinlimD．xnxexlim6．下列函数中，（）在指定区间内是单调减少的函数.A.xy2),(B.xye)0,(C.xyln),0(D.xysin),0(7.设)12)(1()(xxxf，则在区间)1,21(内（）．A.)(xfy单调增加，曲线)(xfy为凹的B.)(xfy单调减少，曲线)(xfy为凹的C.)(xfy单调减少，曲线)(xfy为凸的Ｄ．)(xfy单调增加，曲线)(xfy为凸的8.设函数)(xf在]1,0[上二阶导数大于0,则下列关系式成立的是（）A.)0()1()0()1(ffffB.)0()0()1()1(ffffC.)0()1()0()1(ffffD.)0()1()0()1(ffff9.设)(xf在),(内有二阶导数，0)(0xf，问)(xf还要满足以下哪个条件，则)(0xf必是)(xf的最大值？（）A．0xx是)(xf的唯一驻点B．0xx是)(xf的极大值点C．)(xf在),(内恒为负D．)(xf不为零二、填空题1.函数xxfarctan)(在]1,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是．2.设)5)(3)(2)(1()(xxxxxf，则0)(xf有个实根，分别位于区间中．3.xxxarctan)11ln(lim4.0lim(sin)xxx5.若函数)(xf二阶导数存在，且0)0(,0)(fxf，则xxfxF)()(在x0上是单调．6.函数21yax在(0,)内单调增加，则a．7.若点（1，3)为曲线23bxaxy的拐点，则a，b，曲线的凹区间为，凸区间为．三、计算题1.)111(lim0xxex．2.20222limxxxx．3.30tansinlimxxxx．4.20)(arcsin1sinlimxxexx．5.xxxxxxln1lim1．6.)31ln()21ln(limxxx7.20)1ln(sin1tan1limxxxxxx8.xxxtan0)1(lim．9.求函数32(25)yxx的单调区间、拐点及凹或凸的区间．10.求函数的单调区间)1ln(2xxy11.求函数图形的拐点及凹或凸的区间12xxxy12.求函数的极值xxxf1)(．13.求14123223xxxy的在]4,3[上的最大值与最小值．14．在半径为R的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V最大．15．求32(1)xyx的渐近线.16.