搜索
数学专题七几何综合问题几何型综合题是指以几何知识为主或以几何变换为主的一类综合题，涉及知识主要包括几何的定义、公理、定理以及几何变换等内容．解题策略：解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的．代数和几何型综合题是指以代数知识与几何知识综合运用为主，包括坐标系中的图形变换等的一类综合题，涉及知识主要以函数与圆、方程，函数与三角形、四边形等相关知识为主综合．解题策略：几何图形形象直观，解题过程的可操作性强，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．几何综合型问题【例1】(2015·湖州)已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．(1)初步尝试如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．求证：HF＝AH＋CF.小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH＝AH，再证GF＝CF，从而证得结论成立；思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM＝AH，再证HF＝MF，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程；(2)类比探究如图2，若在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠BAC＝30°，且点D，E的运动速度之比是3：1，求ACHF的值；(3)延伸拓展如图3，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠BAC＝36°，记BCAB＝m，且点D，E运动速度相等，试用含m的代数式表示ACHF.(直接写出结果，不必写解答过程)分析：(1)由不同的思路证明相应的三角形全等即可；(2)类比(1)中的思路作出辅助线，再证明相应的三角形全等即可得出结论；(3)过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证出DG＝DH＝AH，再证明△DGH∽△ABC，得出GHDG＝BCAB＝m，GHAH＝m，证明△DFG∽△EFC，得出GFFC＝DGCE＝DGAD＝BCAB＝m，GH＋GFAH＋FC＝m，AH＋FCHF＝AC－HFHF＝1m，即可得出结果．解：(1)选择思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，∵△ABC是等边三角形，∴∠ADG＝∠B＝60°，∠A＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴GD＝AD＝CE，∵DH⊥AC，∴GH＝AH，∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，∴△GDF≌△CEF，∴GF＝CF，∴GH＋GF＝AH＋CF，即HF＝AH＋CF选择思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝∠ECM＝60°，∵DH⊥AC，EM⊥AC，∴∠AHD＝∠CME＝90°，∵AD＝CE，∴△ADH≌△CEM，∴AH＝CM，DH＝EM，又∵∠DHF＝∠EMF＝90°，∠DFH＝∠EFM，∴△DFH≌△EFM，∴HF＝MF＝CM＋CF＝AH＋CF(2)过点D作DG∥BC，交AC于点G，则∠ADG＝∠B＝90°，∵∠BAC＝∠ADH＝30°，∴∠HGD＝∠HDG＝60°，∴AH＝GH＝GD，AD＝3GD，由题意可知，AD＝3CE，∴GD＝CE，∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，∴△GDF≌△CEF(ASA)，∴GF＝CF，∴GH＋GF＝AH＋CF，即HF＝AH＋CF，∴ACHF＝2(3)ACHF＝m＋1m平面直角坐标系中的代数与几何的综合【例2】(2015·衡阳)如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点(与点O，A不重合)，连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND，BM，设OP＝t.(1)求点M的坐标(用含t的代数式表示)；(2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由；(3)当t为何值时，四边形BNDM的面积最小？分析：(1)作ME⊥x轴于E，证明△MPE≌△PCO，得出ME＝PO＝t，EP＝OC＝4，求出OE，即可得出点M的坐标；(2)先求出OB的解析式，由点M的坐标可得点N的纵坐标，可求点N的横坐标，即可求出MN的长度；(3)先证明△DAP∽△POC，得出ADOP＝APOC，求出AD，BD，求出四边形BNDM的面积S是关于t的二次函数，即可得出结果．解：(1)作ME⊥x轴于点E，则∠MEP＝∠POC＝90°，∵PM⊥CP，∴∠CPM＝90°，∴∠OPC＋∠MPE＝90°，∵∠OPC＋∠PCO＝90°，∴∠MPE＝∠PCO，又∵PM＝CP，∴△MPE≌△PCO，∴PE＝CO＝4，ME＝PO＝t，∴OE＝4＋t，∴点M的坐标为(4＋t，t)(2)线段MN的长度不变，理由：由题意知OA＝AB＝4，∴点B坐标为(4，4)，∴直线OB的解析式为y＝x，∵MN∥OA，点M为(4＋t，t)，点N的坐标为(t，t)，∴MN＝|(4＋t)－t|＝4，即线段MN的长度不变(3)由(1)知：∠MPE＝∠PCO，又∠DAP＝∠POC＝90°，∴△DAP∽△POC，∴ADOP＝APOC，∵OP＝t，OC＝4，∴AP＝4－t，∴ADt＝4－t4，∴AD＝t（4－t）4，∴BD＝4－t（4－t）4＝t2－4t＋164，∵MN∥OA，AB⊥OA，∴MN⊥BD，∴四边形BNDM的面积S＝12MN·BD＝12t2－2t＋8＝12(t－2)2＋6，∵12＞0，∴S有最小值，当t＝2时，S的值最小，∴当t＝2时，四边形BNDM的面积最小1．(2015·福州)如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE＝∠A，DM∥EF交AC于点M.(1)求证：DM＝DA；(2)点G在BE上，且∠BDG＝∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；(3)在图②中，取CE上一点H，使∠CFH＝∠B，若BG＝1，求EH的长．解：(1)∵DM∥EF，∴∠AMD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠A，∴∠AMD＝∠A，∴DM＝DA(2)∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC，∴∠DEB＝∠C，∠BDE＝∠A，∴∠BDE＝∠AFE，∴∠BDG＋∠GDE＝∠C＋∠FEC.∵∠BDG＝∠C，∴∠EDG＝∠FEC，∴△DEG∽△ECF(3)∵∠BDG＝∠C＝∠DEB，∠B＝∠B，∴△BDG∽△BED，∴BDBE＝BGBD，即BD2＝BE·BG.∵∠AFE＝∠A，∠CFH＝∠B，∴∠C＝180°－∠AFE－∠CFH＝∠EFH，又∵∠FEH＝∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴EHEF＝EFEC，即EF2＝EH·EC.∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF＝DM＝AD＝BD，∴BE·BG＝EH·EC，∵BE＝EC，∴EH＝BG＝12．(2015·济宁)如图，⊙E的圆心E(3，0)，半径为5，⊙E与y轴相交于A，B两点(点A在点B的上方)，与x轴的正半轴相交于点C；直线l的解析式为y＝34x＋4，与x轴相交于点D；以C为顶点的抛物线经过点B.(1)求抛物线的解析式；(2)判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；(3)动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离．解：(1)抛物线的解析式为y＝－116(x－8)2(2)在直线l的解析式y＝34x＋4中，令y＝0，得34x＋4＝0，解得x＝－163，∴点D的坐标为(－163，0)；当x＝0时，y＝4，所以点A在直线l上．在Rt△AOE和Rt△DOA中，∵OEOA＝34，OAOD＝34，∴OEOA＝OAOD，又∵∠AOE＝∠DOA＝90°，∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO＝∠DAO，∵∠AEO＋∠EAO＝90°，∴∠DAO＋∠EAO＝90°，即∠DAE＝90°，∴直线l与⊙E相切于点A(3)过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q；过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M.设M(m，34m＋4)，P(m，－116m2＋m－4)，则PM＝34m＋4－(－116m2＋m－4)＝116m2－14m＋8＝116(m－2)2＋314，当m＝2时，PM取得最小值314，此时P(2，－94)．对于△PQM，∵PM⊥x轴，∴∠QMP＝∠DAO＝∠AEO，又∵∠PQM＝90°，∴△PQM的三个内角固定不变，∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，PQ最小＝PM最小·sin∠QMP＝PM最小·sin∠AEO＝314×45＝315，∴当抛物线上的动点P的坐标为(2，－94)时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为3151．(2015·海南)如图1，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD＝60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．(1)求证：△ADP≌△ECP；(2)若BP＝n·PK，试求出n的值；(3)作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连接MO，NO，如图2所示，请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．解：(1)∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，即AD∥BE，∴∠DAP＝∠CEP，∠ADP＝∠ECP，又点P是CD的中点，∴DP＝CP，∴△ADP≌△ECP(AAS)(2)作PI∥CE交DE于I，∵点P是CD的中点，∴IPCE＝DPDC＝12，又由(1)知△ADP≌△ECP，∴AD＝CE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC＝CE，∴BE＝2CE，IPBE＝PKBK＝14，即BK＝4PK，∴BP＝3PK，即n＝3(3)作OG⊥AE于G，又∵BM⊥AE于，KN⊥AE，∴BM∥OG∥KN，∵点O是线段BK的中点，MGNG＝BOOK＝1，∴MG＝NG，即OG是线段MN的中垂线，∴OM＝ON，即△MON是等腰三角形．∠MON＝120°2．(2015·珠海)如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE＝55，且ODOE＝43，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y＝－116x2＋12x＋c经过点E，且与AB边相交于点F.(1)求证：△ABD∽△ODE；(2)若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；(3)P是线段BC上一动点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD＝DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．解：(1)由折叠知∠ADB＝90°－∠ODE＝∠OED，∴Rt△ABD∽Rt△ODE(2)连接MD，设OE＝3k，则OD＝4k，CE＝DE＝5k，AB＝OC＝8k，由Rt△ABD∽Rt△ODE可得AD＝6k，OA＝BC＝BD＝10k，于是BE＝（5k）2＋（10k）2＝55，解得k＝1，∵抛物线y＝－116x2＋12x＋c经过点E(0，3)，∴c＝3.将点A的横坐标x＝10代入y＝－116x2＋12x＋3，求得点F的坐标为(10，74)，∴DF＝AD2＋AF2＝62＋（74）2＝254，BF＝AB－AF＝8－74＝254，∴DF＝BF，又∵∠BDE＝90°，M是BE的中点，∴MB＝MD，∴MF是线段BD的中垂线，故MF⊥BD(3)能．令y＝0，求得抛物线与x轴交点坐标为H(－4，0)，G(12，0)．①当PD⊥x轴时，由于PD＝8，DG＝DH＝8，故点Q的坐标为(－4，0)或(12，0)时，△PDQ是以D为直角顶点的等腰直角三角形；②当PD不垂直x轴时，如图，分别过P，Q作x轴的垂线，垂足分别为N，I，则Q不与G重合，从而I不与G重合，即DI≠8.∵PD⊥DQ，∴∠QDI＝90°－∠PDN＝∠DPN，∴Rt△PDN∽Rt△DQI，∵PN＝8，∴PN≠DI，∴Rt△PDN与Rt△DQI不全等，∴PD≠DQ，另一侧同理PD≠DQ.综合①，②所有满足题设的点Q的坐标为(－4，0)或(12，0)3．(2015·福州)如图，抛物线y＝x2－4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x＋m与对称轴交于点Q.(1)这条