2.2.2 椭圆的几何性质

一、复习：1.椭圆的定义:到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2|）的动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2|)|2(2||||2121FFaaPFPF当焦点在X轴上时当焦点在Y轴上时)0(12222babyax)0(12222babxay二、椭圆简单的几何性质1、范围：,122ax得：122by-a≤x≤a,-b≤y≤b椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中oyB2B1A1A2F1F2cabYXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）22221(0)xyabab关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称2、椭圆的对称性2、椭圆的对称性22221(0)xyabab在中,把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于()轴对称；把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于()轴对称；把(X)换成(-X),(Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆关于()对称；中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。oxy所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。YX原点3、椭圆的顶点22221(0)，xyabab在中令x=0，得y=？，说明椭圆与y轴的交点（），令y=0，得x=？,说明椭圆与x轴的交点（）。*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0,±b±a,0*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。焦点总在长轴上!(-a,0)123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1B1A2B2B2A2B1A14、椭圆的离心率ace离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁;因为ac0，所以0e1[2]离心率对椭圆形状的影响：2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆;3）特例：e=0，则a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）yOx222xya离心率e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.abceaa2=b2+c222221(0)yxabab|x|≤b,|y|≤a关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)长半轴长为a,短半轴长为b.aba2=b2+c2cea例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解：把方程化为标准方程:所以:a=5，b=4，即2212516xy25163c顶点坐标为(-5,0)，(5,0)，(0,4)，(0,-4)．长轴长2a=10，短轴长2b=8；离心率焦点坐标为(-3,0),(3,0)35cea练习1求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标：22(1)110036xy；22(2)28xy．练习2比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆，为什么？第一个椭圆的离心率，e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆．2223611612xyxy2(1)9，；22236161xyxy2(2)9，．０第二个椭圆的离心率1223e212e第一个椭圆的离心率，e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆．第二个椭圆的离心率1223e2105e例2求适合下列条件的椭圆方程：(1)经过点P(-3,0)，Q(0,-2)；(2)长轴长等于20，离心率等于0.6．解:(1)P是长轴顶点，Q是短轴顶点故a=3，b=2，焦点在x轴上．即椭圆的方程为22194xy(2)a=10，离心率c／a=0.6故c=6，b=8．若焦点在x轴上，则若焦点在y轴上，则22110064xy22164100xy求椭圆的标准方程时,应:先定位(焦点),再定量（a、b）当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！例3点M（x,y)与定点F（4，0）的距离和它到定直线l:的距离的比为，求点M的轨迹.254x45FlxoyMHd,54425:dMFMPMxlMd的轨迹就是集合点的距离，根据题意，到直线是点解：设.54425)4(2xyx由此得,22525922yx简，得将上式两边平方，并化192522yx即所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。y当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。10eace对于椭圆，相应于焦点F1（c,0)准线方程是,根据椭圆的对称性，相应于焦点F2(-c.0)准线方程是,所以椭圆有两条准线：12222byaxcax2cax2椭圆的第二定义：F2F1lI’xo2axc1.基本量:a、b、c、e几何意义：a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系：小结：椭圆中的基本元素2.基本点：顶点、焦点、中心3.基本线:对称轴（共两条线）222bacace焦点总在长轴上!