2.2.2反证法

§2.2.2反证法复习回顾1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程.综合法:已知条件结论分析法:结论已知条件路边苦李王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?这与事实矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的.假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？所以，李子是苦的走进生活妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆。有一次，我和爸爸在看电视，妹妹和妈妈在厨房洗碗。突然,“啪”的一声，有碗打碎了，然后一片寂静。请你思考，是谁打破了碗呢？推理方法假设“不是妈妈打破的”因妈妈和妹妹在厨房洗碗，应是妹妹打破，妈妈会大发雷霆与已知条件“然后一片寂静”产生矛盾假设“不是妈妈打破”不成立所以“是妈妈打破了碗”.“妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆。有一次，我和爸爸在看电视，妹妹和妈妈在厨房洗碗。突然,‘啪’的一声，有碗打碎了，然后一片寂静。”求证：是妈妈打破了碗.刚才的推理方法和以前所学的方法一样吗？一、反证法的定义:一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.这样的证明方法叫做反证法.把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明.注：反证法是最常见的间接证法。假设“不是妈妈打破的”因妈妈和妹妹在厨房洗碗，应是妹妹打破，妈妈会大发雷霆与已知条件“然后一片寂静”产生矛盾假设“不是妈妈打破”不成立所以“是妈妈打破了碗”.归纳总结你能总结出以上这种证明方法的步骤吗?否定结论（假设结论的反面成立）推出矛盾（从假设出发，得出与已知、定义、公理、定理相矛盾）肯定结论（假设不成立，原命题成立）反证法的步骤二、反证法的证明步骤:否定结论——推出矛盾——肯定结论即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与假设矛盾或自相矛盾;（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.反证法的思维方法：正难则反0,abab例1.证明：如果则三、例题ab证明：假设不大于=abab则或0,0ab因为ab所以：（1）若ab.ab这与已知矛盾=ab（2）若=ab=.ab这与已知矛盾ab所以，假设错误，故注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。否定要全面注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”，“不能表示为……”，“不是……”，“不存在……”，“不等于……”，“不具有某种性质”等)常用反证法证明:假设能成等差数列，则5,3,2两边平方得:232522(23)(25)5210化简得:两边平方得:2540此式显然不成立，所以假设错误不可能成等差数列2,3,5所以235.例2.证明：，，不可能成等差数列aba证明假设方程至少存在两个根：x+=0(≠0)，xxxx不妨设其中的两个根分别为且1212，≠axbaxb则12=，=axax12∴=axax12∴-=0axx12∴（-）=0a∴=0a与已知≠0矛盾,故假设不成立，结论成立。12120xxxx注：唯一性命题(命题的结论是“有且只有”，“只有一个，“唯一存在”等)常用反证法。0,.axaxb例3.已知证明：关于的方程有且只有一个根0,.baxa分析：由于因此方程至少有一个根从正面较难说清楚为什么只有一个根，我们采用反证法，即证明吐过不只一个根则会导致矛盾.分析：所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“至少有一个”只要证明它的反面“两个都”不成立即可.注:“至少”、“至多”型命题常用反证法12,xy12yx证明:xyyx11与假设均不小于2，则∵x0,y0∴1+x≥2y，1+y≥2x将两式相加得:x+y≤2，与已知x+y2矛盾，xyyx11与所以中至少有一个小于2。0,0,2,,xyxyxyyx例4.已知1+1+求证：中至少有一个小于2.（1）直接证明有困难（2）否定性命题（3）唯一性命题（4）至多，至少型命题0,abab例1.证明：如果则0,.axaxb例3.已知证明：关于的方程有且只有一个根0,0,2,,xyxyxyyx例4.已知1+1+求证：中至少有一个小于2.235.例2.证明：，，不可能成等差数列16原词语否定词原词语否定词等于任意的是至少有一个都是至多有一个大于至少有n个小于至多有n个对所有x,成立对任何x，不成立准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.不是不都是不大于不小于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某个x，不成立存在某个x,成立不等于某个（1）直接证明有困难正难则反!归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”（3）唯一性命题（2）否定性命题（4）至多，至少型命题反证法的一般步骤先假设命题的结论不成立从假设出发，经过推理得出矛盾否定假设肯定原命题分清条件和结论实例：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。先生突然想附庸风雅一番，乃作一歪诗：天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：实际上，小牧童正是巧妙运用了逆向思维，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。那么，显然，他说的就是谬论了。先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。这就是逆向思维的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”便迎刃而解了。