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第13章整式的乘除§13.1幂的运算1.同底数幂的乘法2.幂的乘方3.积的乘方4.同底数幂的除法§13.2整式的乘法1.单项式与单项式相乘2.单项式与多项式相乘3.多项式与多项式相乘§13.3乘法公式1.两数和乘以这两数的差2.两数和的平方阅读材料贾宪三角§13.4整式的除法1.单项式除以单项式2.多项式除以单项式§13.5因式分解阅读材料你会读吗小结复习题课题学习面积与代数恒等式第13章整式的乘除某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积，可得到：（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb你知道上面的等式蕴含着什么样的运算法则吗?·§13.1幂的运算1.同底数幂的乘法试一试（1）23×２4＝（２×２×２）×（２×２×２×２）＝２()；（2）53×５4＝5()；（3）a3·a4＝a()．概括am·an＝（a·a·…·a）（a·a·…·a）＝a·a·…·a＝anm．可得am·an＝anm（m、n为正整数）．这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例1计算：（1）103×１０4；（2）a·a3；（3）a·a3·a5．解（1）103×１０4＝１０43＝１０7．（2）a·a3＝a31＝a4．（3）a·a3·a5＝a4·a5＝a9．练习1.判断下列计算是否正确，并简要说明理由．（1）a·a2＝a2；（2）a＋a2＝a3；（3）a3·a3＝a9；（4）a3＋a3＝a6．2.计算：（1）102×105；（2）a3·a7；（3）x·x5·x7．2.幂的乘方试一试根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：（1）（23）2＝23×２3＝２()；（2）（32）3＝32×３2×３2＝３()；（3）（a3）4＝a3·a3·a3·a3＝a()．概括（am）n＝am·am·…·am（n个）＝ammm...（n个）=amn可得（am）n＝amn（m、n为正整数）．这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘．例2计算：（1）（103）5；（2）（b3）4．解（1）（103）5＝105*3＝１０15．（2）（b3）4＝b4*3＝b12．练习1.判断下列计算是否正确，并简要说明理由．（1）（a3）5＝a8；（2）a5·a5＝a15；（3）（a2）3·a4＝a9．2.计算：（1）（22）2；（2）（y2）5；（3）（x4）3；（4）（y3）2·（y2）3．3.积的乘方试一试（1）（ab）2＝（ab）·（ab）＝（aa）·（bb）＝a()b()；（2）（ab）3＝＝＝a()b()；（3）（ab）4＝＝＝a()b()．概括（ab）n＝（ab）·（ab）·…·（ab）（n个）＝（a·a·…·a）·（b·b·…·b）＝anbn．可得（ab）n＝anbn（n为正整数）．这就是说，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．例3计算：（1）（2b）3；（2）（2×a3）2；（3）（－a）3；（4）（－3x）4．解（1）（2b）3＝23b3＝8b3．（2）（2×a3）2＝22×（a3）2＝4×a6．（3）（－a）3＝（－1）3·a3＝－a3．（4）（－3x）4＝（－3）4·x4＝81x4．练习1.判断下列计算是否正确，并说明理由．（1）（xy3）2＝xy6；（2）（－2x）3＝－2x3．2.计算：（1）（3a）2；（2）（－3a）3；（3）（ab2）2；（4）（－2×１０3）3．4.同底数幂的除法我们已经知道同底数幂的乘法法则：am·an＝anm，那么同底数幂怎么相除呢?试一试用你熟悉的方法计算：（1）25÷２2＝；（2）107÷103＝；（3）a7÷a3＝（a≠0）．概括由上面的计算，我们发现：25÷２2＝23＝225；107÷103＝104＝1037；a7÷a3＝a4＝a37．一般地，设m、n为正整数，m＞n，a≠0，有am÷an＝anm．这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减．我们可以利用除法的意义来说明这个法则的道理：因为除法是乘法的逆运算，am÷an实际上是要求一个式子（），使an·（）＝am．而由同底数幂的乘法法则，可知an·anm＝a)(nmn＝am，所以要求的式子（），就是anm，从而有am÷an＝anm．例4计算：（1）a8÷a3；（2）（－a）10÷（－a）3；（3）（2a）7÷（2a）4．解（1）a8÷a3＝a38＝a5．（2）（－a）10÷（－a）3＝（－a）310＝（－a）7＝－a7．（3）（2a）7÷（2a）4＝（2a）47＝（2a）3＝8a3．思考你会计算（a＋b）4÷（a＋b）2吗?练习1.填空：（1）a5·（）＝a9；（2）（）·（－b）2＝（－b）7；（3）x6÷（）＝x；（4）（）÷（－y）3＝（－y）7．2.计算：（1）a10÷a2；（2）（－x）9÷（－x）3；（3）m8÷m2·m3；（4）（a3）2÷a6．习题13.11.计算（以幂的形式表示）：（1）93×95；（2）a7·a8；（3）35×２7；（4）x2·x3·x4．2.计算（以幂的形式表示）：（1）（103）3；（2）（a3）7；（3）（x2）4；（4）（a2）3·a5．3.判断下列等式是否正确，并说明理由．（1）a2·a2＝（2a）2；（2）a2·b2＝（ab）4；（3）a12＝（a2）6＝（a3）4＝（a5）7．4.计算（以幂的形式表示）：（1）（3×１０5）2；（2）（2x）2；（3）（－2x）3；（4）a2·（ab）3；（5）（ab）3·（ac）4．5.计算：（1）x12÷x4；（2）（－a）6÷（－a）4；（3）（p3）2÷p5；（4）a10÷（－a2）3．6.判断下列计算是否正确，错误的给予纠正．（1）（a2b）2＝a2b2；（2）a5÷b2＝a3b；（3）（3xy2）2＝6x2y4；（4）（－m）7÷（－m）2＝m5．7.计算：（1）（a3）3÷（a4）2；（2）（x2y）5÷（x2y）3；（3）x2·（x2）3÷x5；（4）（y3）3÷y3÷（－y2）2．8.用多少张边长为a的正方形硬纸卡片，能拼出一个新的正方形?试写出三个答案，并用不同的方法表示新正方形的面积．从不同的表示方法中，你能发现什么?§13.2整式的乘法1.单项式与单项式相乘计算：2x3·5x2．例1计算：（1）3x2y·（－2xy3）；（2）（－5a2b3）·（－４b2c）．解（1）3x2y·（－2xy3）＝［３·（－２）］·（x2·x）·（y·y3）（2）（－5a2b3）·（－４b2c）＝［（－５）·（－４）］·a2·（b3·b2）·c＝20a2b5c．概括单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．例2卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×１０3米/秒，则卫星运行3×１０2秒所走的路程约是多少?解7.9×１０3×３×１０2＝23.7×１０5＝２.３７×１０6（米）．答：卫星运行3×１０2秒所走的路程约是2.37×１０6米．讨论你能说出a·b,3a·2a,以及3a·5ab的几何意义吗?练习1.计算：（1）3a2·2a3；（2）（－9a2b3）·8ab2；（3）（－3a2）3·（－2a3）2；（4）－3xy2z·（x2y）2．2.光速约为３×１０8米/秒，太阳光射到地球上的时间约为５×１０2秒，则地球与太阳的距离约是多少米?3.小明的步长为a厘米，他量得一间屋子长15步，宽14步，这间屋子的面积有多少平方厘米?2.单项式与多项式相乘试一试计算：2a2·（3a2－5b）．例3计算：（－2a2）·（３ab2－5ab3）．解（－2a2）·（３ab2－5ab3）＝（－2a2）·3ab2＋（－2a2）·（－５ab3）＝－6a3b2＋10a3b3．概括单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．练习1.计算：（1）3x3y·（2xy2－3xy）；（2）2x·（3x2－xy＋y2）．2.化简：x（x2－1）＋2x2（x＋1）－3x（2x－5）．3.多项式与多项式相乘回忆我们再来看一看本章导图中的问题：图13.2.1某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．这块林区现在长为（m＋n）米，宽为（a＋b）米，因而面积为（m＋n）（a＋b）米2．也可以这样理解：如图13.2.1所示，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma米2、mb米2、na米2、nb米2，故这块地的面积为（ma＋mb＋na＋nb）米2．由于（m＋n）（a＋b）和（ma＋mb＋na＋nb）表示同一块地的面积，故有（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb．实际上，把（m＋n）看成一个整体，有（m＋n）（a＋b）＝（m＋n）a＋（m＋n）b＝ma＋mb＋na＋nb．如下式所示，等式的右边可以看作左边用线相连各项乘积的和：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb概括这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．例4计算：（1）（x＋2）（x－3）；（2）（3x－1）（2x＋1）．解（1）（x＋2）（x－3）＝x2－3x＋2x－6＝x2－x－6．（2）（3x－1）（2x＋1）＝6x2＋3x－2x－1＝6x2＋x－1．例5计算：（1）（x－3y）（x＋7y）；（2）（2x＋5y）（3x－2y）．解（1）（x－3y）（x＋7y）＝x2＋7xy－3yx－21y2＝x2＋4xy－21y2．（3）（2x＋5y）（3x－2y）＝6x2－4xy＋15yx－10y2＝6x2＋11xy－10y2．练习1.计算：（1）（x＋5）（x－7）；（2）（x＋5y）（x－7y）；（3）（2m＋3n）（2m－3n）；（4）（2a＋3b）（2a＋3b）．2.小东找来一张挂历纸包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长方形?习题13.21.计算：（1）5x3·8x2；（2）11x12·（－12x11）；（3）2x2·（－3x）4；（4）（－8xy2）·－(1/2x)3．2.世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米，底边长230.4米，用了约2.3×１０6块大石块，每块重约2.5×１０3千克．请问：胡夫金字塔总重约多少千克?3.计算：（1）－3x·（2x2－x＋4）；（2）5/2xy·(－x3y2＋4/5x2y3)．4.化简：（1）x(1/2x＋1)－3x(3/2x－2)；（2）x2（x－1）＋2x（x2－2x＋3）．5.一块边长为xcm的正方形地砖，被裁掉一块2cm宽的长条．问剩下部分的面积是多少?6.计算：（1）（x＋5）（x＋6）；（2）（3x＋4）（3x－4）；（3）（2x＋1）（2x＋3）；（4）（9x＋4y）（9x－4y）．7.一块长a厘米、宽b厘米的玻璃，长、宽各减少c厘米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小）．问台面面积是多少?§13.3乘法公式1.两数和乘以这两数的差做一做计算：（a＋b）（a－b）．这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁：（a＋b）（a－b）＝a2－b2．这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差．试一试图13.3.1先观察图13.3.1，再用等式表示下图中图形面积的运算：＝－．例1计算：（1）（a＋3）（a－3）；（2）（2a＋3b）（2a－3b）；（3）（1＋2c）（1－2c）；（4）（－2x－y）（2x－y）．解（1）（a＋3）（a－3）＝a2－32＝a2－9．（2）（2a＋3b）（2a－3b）＝（2a）2－（3b）2＝4a2－9b2．（3）（1＋2c）（1－2c）＝12－（2c）2＝1－4c2．（4）（－2x－y）（2x－y）＝（－y－2x）（－y＋2x）＝（－y）2－（2x）2＝y2－4x2