2016年极坐标与参数方程高考题的几种常见题型答案

第1页共9页极坐标与参数方程高考题的几种常见题型1、⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为cos4，sin4．(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解：(I)cosx，siny，由cos4得cos42．所以xyx422．即0422xyx为⊙O1的直角坐标方程．同理0422yyx为⊙O2的直角坐标方程(II)解:由04042222yyxxyx,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．2、以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度.已知直线的方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；(Ⅱ)求曲线上的点到直线的距离的最小值.[解析]（Ⅰ）设中点的坐标为，依据中点公式有（为参数），这是点轨迹的参数方程，消参得点的直角坐标方程为.（5分）（Ⅱ）直线的普通方程为，曲线的普通方程为，表示以为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心到直线的距离减去半径，设所求最小距离为d，则.因此曲线上的点到直线的距离的最小值为.3、在极坐标系下，已知圆sincos:O和直线:l22)4sin(。(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；当),0(时，求直线l于圆O公共点的极坐标。解：（1）圆sincos:O，即sincos2第2页共9页圆O的直角坐标方程为：yxyx22，即022yxyx直线:l22)4sin(，即1cossin则直线的直角坐标方程为：1xy，即01yx。（2）由01022yxyxyx得10yx故直线l与圆O公共点的一个极坐标为)2,1(。4、在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（3）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。解：（Ⅰ）由得1)3cos(1)sin23cos21(C直角方程为)2,332(3322)0,2(202312321NMyxyx，所以时，，所以时，即（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为)332,0(P点的直角坐标为),6,332(),33.1(点的极坐标为则P直线OP极坐标方程为),(,5、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.[解析]（1）由曲线：得两式两边平方相加得：即曲线的普通方程为：由曲线：得：所以即曲线的直角坐标方程为:(2)由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线第3页共9页的距离为所以当时，的最小值为，此时点的坐标为6、在平面直角坐标系中,以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为,直线l的参数方程为:(为参数)，两曲线相交于,两点.（Ⅰ）写曲线直角坐标方程和直线普通方程;（Ⅱ）若,求的值．[解析](Ⅰ)(曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程.（4分）(Ⅱ)直线的参数方程为(为参数),代入,得到,,对应的参数分别为,，则7、已知直线的参数方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）当时，求直线与曲线交点的极坐标.[解析]（Ⅰ）由，可得第4页共9页所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为，曲线的极坐标方程化为参数方程为（5分）（Ⅱ）当时，直线的方程为，化成普通方程为，由，解得或，所以直线与曲线交点的极坐标分别为，；,.8、已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.[解析]（Ⅰ）直线的普通方程为，C直角坐标方程为.（Ⅱ）设点，则，所以的取值范围是.(10分）9、选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射第5页共9页线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．10、（理）已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是(t是参数)．(I)将曲线C的极坐标方程和直线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(Ⅱ)若直线与曲线C相交于A，B两点，且，试求实数m的值．11、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）（Ⅰ）将的第6页共9页方程化为普通方程；（Ⅱ）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线的极坐标方程是，求曲线与交点的极坐标.[解析]（Ⅰ）依题意，的普通方程为，（Ⅱ）由题意，的普通方程为，代入圆的普通方程后得，解得，，点、的直角坐标为，，从而，.（7分）12、已知曲线(t为参数)，(为参数)（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.[解析]解（Ⅰ）曲线为圆心是，半径是1的圆.曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆.（4分）（Ⅱ）曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以.（10分）13、在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）判断点与直线的位置关系，说明理由；第7页共9页(Ⅱ)设直线与直线的两个交点为、，求的值.[解析]（Ⅰ）直线即，:，点在上.(Ⅱ)直线的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，有，设两根为，.（10分）14、在直角坐标系中，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标.[解析]（Ⅰ）由得，则直线的普通方程为.由得曲线的普通方程为.（5分）（Ⅱ）在上任取一点，则点到直线的距离为，当，即时，，此时点.（10分)15.、（河南省商丘市2014届高三第三次模拟考试数学（理）试题）在极坐标系中，已知圆C的圆心(2,)4C，半径r=3．（I）求圆C的极坐标方程；第8页共9页（Ⅱ）若0,4，直线l的参数方程为2cos2sinxtyt（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．解：（Ⅰ）C直角坐标(1,1)，所以圆C的直角坐标方程为22(1)(1)3xy，……2分由cossinxy得，圆C的直角坐标方程为22cos2sin10．……5分（Ⅱ）将2cos2sinxtyt，代入C的直角坐标方程22(1)(1)3xy，得22(cossin)10tt，则0，设Ａ，Ｂ对应参数分别为1t，2t，则122(cossin)tt，121tt，2121212||||()484sin2ABtttttt因为[0,)4，所以sin2[0,1)所以84sin2[8,12)，所以||AB的取值范围为[22,23)16、（昆明第一中学2014届高三第五次月考）以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为tytx213235(t为参数)，圆C的极坐标方程为)3cos(4。（I）求直线l和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在圆C上，求yx3的取值范围．17、（2011年高考（新课标理））直角坐标系xOy中,曲线1C的参数方程为2cos22sinxy(为参数),M是1C上的动点,P点满足OP=2OM,P点的轨迹为2C.(Ⅰ)求2C的方第9页共9页程;(Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3与1C的异于极点的交点为A,与2C的异于极点的交点为B,求||AB.【解析】(Ⅰ)设P(x,y),则由条件知M(2x,2y),由于M在1C上,∴2cos222sin2xy,即4cos44sinxy,∴2C的参数方程为4cos44sinxy(为参数);(Ⅱ)曲线1C的极坐标方程为=4sin,曲线2C的极坐标方程为=8sin,∴射线3与1C的交点A的极径为1=4sin3,射线3与2C的交点B的极径为2=8sin3,∴||AB=21||=23.