第14章_市场风险_VaR_历史模拟法

第14章RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull20121市场风险VaR:历史模拟法1.1历史模拟法思路介绍总思路：以历史数据为依据构造未来的若干种情形，以到时预测将来的目的。如何构造各种情景：第一个模拟场景是假设未来一天的市场所以变量变化同第一天的变化一样。（情景1）RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull2012211,10ˆnnvvvv1.1历史模拟法思路介绍（续）第二个模拟场景是假设未来一天的市场所以变量变化同第二天的变化一样。（情景2）以此类推。321,21ˆnnvvvv1,11,1ˆ()ˆ()inininnnnnvvvivvvvv情景情景n1.1历史模拟法思路介绍（续）通过给予每一个情景同样的概率（1/n）可以得到我们所关心的变量第n+1天可能值的经验分布。最后通过经验分布计算其风险价值度VaRRiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull201241nv1.2拟合过程说明RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull201251.2.0，以DJIA2008年9月25日为例说明情景如何构造求：投资9月26日99%的VaR？DayDateDJIADayDateDJIA0Aug7,200611,219.383Aug10,200611,124.371Aug8,200611,173.594Aug11,200611,088.022Aug9,200611,076.185Aug14,200611,097.87….……………..…………497Sep19200811,388.44499Sep24,200810,825.17498Sep22,200811,015.69500Sep25,200811,022.061.2拟合过程说明RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull20126例：2008年9月25日有如下的投资求：投资9月26日99%的VaR？IndexAmountInvested($000s)DJIA4,000FTSE1003,000CAC401,000Nikkei2252,000Total10,0001.2拟合过程说明注：表中股票指数以美元计价7采用历史模拟法，我们需要哪些数据？DayDateDJIAFTSECAC40Nikkei0Aug7,200611,219.3811,131.846,373.89131.771Aug8,200611,173.5911,096.286,378.16134.382Aug9,200611,076.1811,185.356,474.04135.943Aug10,200611,124.3711,016.716,357.49135.44….……………..…………499Sep24,200810,825.179,438.586,033.93114.26500Sep25,200811,022.069,599.906,200.40112.821.2.1第一步由历史数据构造情景RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull20128情景编号DJIAFTSECACNikkei投资组合价值损失110,977.089,569.236,204.55115.0510,014.334-14.334210,925.979,676.966,293.60114.1310,027.481-27,481311,070.019,455.166,088.77112.409,946.73653,264….………..…..…..…..…..49910,831.439,383.496,051.94113.859,857.465142.53550011,222.539,763.976,371.45111.4010,126.439-126.43938.219,1159.173,1106.022,111.2.2把构造的损失进行排序RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull20129情景编号损失($000s)494477.841339345.435349282.204329277.041487253.385227217.974131205.256从上表可以得知：1天99%的VaR=$253,3852.1关于VaR的精确度在历史模拟法中，对于交易组合价值变化分布的计算是基于过去发生的有限的观察值，正因如此，历史模拟法对于分布的分位数的估计并不是绝对准确。肯德尔（Kendall）及斯图尔特（Stuart）的研究成果给出了由抽样数据计算出的概率分布的分位数的置信区间。RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull2012102.1VaR的估计量的标准差假定概率分布的第q个分位数的估计值为x，n为观察值的个数，这一估计的标准差为其中，f(x)为对应于损失量为x的损失分布的密度函数值，这一函数值可以通过将经验数据与标准分布进行匹配来估计。nqqxf)1()(1RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull2012112.2例14.1假如采用历史模拟法从500个观测值中求取的0.99分位数的估计值为2500万美元我们可以采用标准分布来对经验分布进行匹配，并由此求得f(x)的近似值。假定经验分布服从正态分布，其期望值为0，标准差为1000万美元在Excel中，0.99分位数所对应的数值为NORMINV(0.01,0,10)=2326万(美元)，f(x)的数值为NORMDIST(23.26,0,10,FALSE)=0.0027因此，0.99分位数估计值的标准差为RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull20121267.150099.001.00027.013.历史模拟法的扩展形式历史模拟法的一个关键假设过去几年的收益率是同分布（即分布是静止不变的）但是市场变量并非静态，有时市场的波动率会很高，有时很低。因此，有必要进行改进。RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull2012133.1对观测值设定权重（对最后一步进行改进）一种较为自然的权重选择是使地权重随时间回望期的延伸而按指数速度递减将所有的观察值由最坏到最好进行排序由损失最坏的情形开始，我们开始累积计算每一项权重的和，当权重总和达到某指定分位数界限时，停止计算RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull201214(1)1nin3.1.1将新方法用于上述例RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull201215情景编号($000s)权重累积权重494477.8410.005280.00528339345.4350.002430.00771349282.2040.002550.01027329277.0410.002310.01258487253.3850.005100.01768227217.9740.001390.01906131205.2560.000860.01992令=0.995，使用新方法可得1天99%的VaR=$282,204.3.2扩展2-考虑波动率的更新将市场变量波动率的更新模式，与历史模拟法并用。假定第i天的波动率是第i-1天波动率的两倍，因此可以预见今天到明天的变化量也应该是从第i-1天到第i天变化量的两倍。市场变量在第i个情形会变成RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull2012161111/)(iiniiinvvvvv3.2.1在4指数例子中，利用EWMA模型估计出的波动率(%每天)RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull201217DayDateDJIAFTSECAC40Nikkei0Aug7,20061.111.421.401.381Aug8,20061.081.381.361.432Aug9,20061.071.351.361.413Aug10,20061.041.361.391.37….…………………………499Sep24,20082.213.283.111.61500Sep25,20082.193.213.091.59经波动率调节的500个情景的、由高到低进行排序后的损失RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull201218情景编号损失($000s)1311,082.969494715.512227687.72098661.221329602.968339546.54074492.7643.3采用自助法计算估计值置信区间假定有500个数据我们可以采用再替换的形式对数据进行抽样500000次，由此可以产生1000组500天的数据，对于每一组数据我们可以进行VaR的运算对于计算值我们从小到大进行排列，假如名列第25位的值为530万美元，名列第475位的值为890万美元，那么对应于95%置信水平的置信区间为530万~890万这就是统计自助法RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull2012194.计算问题为了避免交易组合价值的多次重复计算，金融机构有时会使用delta/gamma近似方法当一个产品的价格P依赖于单一市场变量,S,由S的变化而引起的价格变化可近似估计为RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull2012202)(21SSP5.极值理论极值理论可以描述一个变量x的经验概率分布的右尾部状态.(如果要描述左尾部状态，我们可以使用变量–x.）我们先选择右端尾部的一个数值u我们可以使用Gnedenko的结论：随着分布u的增加，趋向于广义Pareto分布。RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull201221)(1)()()(uFuFyuFyFu)(yFu广义Pareto分布RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter14,Copyright©JohnC.Hull201222广义Pareto分布有两个参数x(有