中考数学专题复习 第2时 分类讨论思想

第2时分类讨论思想一棵草的春天[e-mail]第2课时分类讨论思想知识归纳考点例析基础训练能力训练在一些量的不确定或图形位置，形状不确定，引起问题结果有多种可能，就需要对各种情况进行分类解决．近几年分类讨论思想在压轴题较常见．要注意分类的标准，做到不重复、不遗漏．考查数学概念、性质的分类讨论思想方法若等腰三角形的两条中位线长分别为3和4，则它的周长为________．解析：由于等腰三角形的边分为底边和腰长，两条中位线没有明确位置，因此要分类．当两腰上的中位线长为3时，周长＝2×3＋2×2×4＝22；当两腰上的中位线长为4时，周长＝2×4＋2×2×3＝20.答案：20或22点评：涉及等腰三角形或直角三角形的边时，要注意解题时是否要分类．1．已知直角三角形的两边分别为4和5，则第三边的长为________．2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为________度．3．一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则此圆的半径为________cm.1．3或412.60或1203．2.5或6.5考查几何图形位置或形状的不确定而进行分类思想(2010广东)如图1、图2所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4，点F在DC上，DF＝2.动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上)，当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW.设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：(1)说明△FMN∽△QWP；(2)设0≤x≤4(即M从D到A运动的时间段)，试问x为何值时，△PQW为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？(3)问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．(1)解析：如图1，∵P、Q、W分别为△MNF三边的中点，∴△MNF∽△WPQ.(2)由(1)知△MNF∽△WPQ，故只需讨论△MNF的情况(如图3)．情况①：过点N作NE⊥CD交CD于E.当∠1＋∠2＝90°时，∠MFN＝90°.∴PWMN＝PQFN＝WQFM＝12，∵∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.又∵∠D＝∠NEF＝90°，∴△MDF∽△FEN.∴DMDF＝EFEN，x2＝4－x4.∴x＝43.情况②：当∠4＋∠5＝90°时，∠FMN＝90°.∵∠4＋∠1＝90°，∴∠1＝∠5.又∵∠D＝∠A＝90°，∴△MDF∽△NAM.∴DMDF＝ANAM，x2＝6－x4－x，x2－6x＋12＝0.∵＝36－4×1×12＜0，∴原方程无解，∠FMN不能是直角.情况③：当M、A重合时，x＝4，此时，BN＝FC＝4，∠FNA是直角.综上所述，当x＝4或x＝43时，△PQW为直角三角形；当x≠4、43时，△PQW不是直角三角形．(3)当0≤x≤4时，显然MN逐渐缩短，故只考虑4≤x≤6，即图2的情形．∵MA＝x－4，AN＝6－x，∴MN2＝(x－4)2＋(6－x)2＝2x2－20x＋52.∴当x＝202×2＝5时，MN2最小，即MN最小.∴MN2＝2×52－20×5＋52＝2，MN＝2.点评：解决图形运动的问题，由于运动过程中图形的位置或形状不确定，常会用到分类思想.点评：解决图形运动的问题，由于运动过程中图形的位置或形状不确定，常会用到分类思想.一、选择题1．等腰三角形的一个角的度数为40°，那么此三角形的另两个角的度数为()A．40°，40°B．40°，100°C．70°，70°D．40°，100°或70°，70°2．若直线：y＝4x＋b不经过第二象限，那么b的取值范围为()A．b＞0B．b≤0C．b＝0D．b＜0DB3．如右图，数轴上有一点P，AP＝3.则点P所对应的数是()A．2B．－4C．3D．2或－44．在⊙O中，弦AB的长等于⊙O的半径．则弦AB所对的圆周角为()A．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°DC5．某超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元不享受优惠；(2)一次性购物超过100元，但不超过300元，一律9折；(3)一次性购物超过300元一律8折．小王两次购物分别付款80元、252元．如果小王一次性购买与上两次相同的商品．则应付款()A．288元B．332元C．288元或316元D．332元或316元C二、填空题6．若a2＋ma＋9是完全平方式．则m＝______.7．抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上．则a＝______________.8．一组数据5、x、7、7的中位数与平均数相等．则x的值为________．9．等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角的度数为_________________．10．满足等式(n－1)n＋2＝1的整数n有____个，分别是_____________．0或2或－2±6－2或4或－85或930°或120°或150°312．已知等腰△ABC中，腰AC上的中线BD把三角形的周长分为12和15两部分．求这个三角形的各边长．解析：设底BC＝x，腰AC＝2y，分两种情况．得：2y＋y＝12x＋y＝15或2y＋y＝15x＋y＝12解得：x＝11y＝4或x＝7y＝5∴三角形的三边长分别为11、8、8或7、10、10.13．如图，已知∠AOB，画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB.若∠AOB＝40°.求∠COD的度数．解析：有三种符合条件的图形．如下图：①∠COD＝140°②∠COD＝140°③∠COD＝40°∴∠COD的度数为140°或40°.14．如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°、AB＝7、BC＝3、AD＝2，点P为AB边上的一点，若△PAD与△PBC相似．求AP的长．解析：(注意△PAD与△PBC相似，△PAD∽△PBC的区别和联系)∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A与∠B是这两个三角形相似的对应角．(1)当△PAD∽△PBC时，设AP＝x，则x7－x＝23.解得x＝145.(2)当△PAD∽△CBP时，则x3＝27－x.解得x＝1或6.∴AP的长为1或145或6.15．已知⊙O中，半径r＝5cm.AB、CD是两条平行弦，且AB＝8cm、CD＝6cm.则AC的长为________．解析：(注意：本题符合条件的图形有多种情况)．由题意知有四种情形：如图①、②，∵O到AB的距离OE＝52－822＝3O到CD的距离OF＝52－622＝4.∴EF＝3＋4＝7或EF＝4－3＝1.∴AC＝72＋8－622＝52或AC＝12＋8－622＝2.如图③、④，同理可得AC＝72或52.故满足条件的AC的长为2或52或72.