31GCT考试数学必备公式

清华在线数学解题必知公式第一章算术【备考要点】算术部分重点考查的是数的概念和性质，四则运算及运用，比和比例。这部分看似简单，但往往有考生在简单题目上出错，所以在解题过程中要比其它题目更加细心。【解题技巧】（一）必知公式1.数的概念与性质自然数：0，1，2，…整数：…，－2，－1，0，1，2，…分数：将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，通常用“％”来表示。数的整除：当整数a除以非零整数b，商正好是整数而无余数时，则成a能被b整除或b能整除a。倍数，约数：当a能被b整除时，称a是b的倍数，b是a的约数。素数：只有1和它本身两个约数的数。合数：除了1和它本身还有其它约数的数；互质数：公约数只有1的两个数称为互质数。2.数的四则运算数的加、减、乘、除法运算定律：加法交换律abba加法结合律()()abcabcabc乘法交换律abba乘法结合律()()abcabcabc乘法分配律()abcabac()bcabaca运算性质：交换性质abcacbabcacb//abcacb////abcacb结合性质()()abcabcacb()abcabc/(/)(0)abcabcc//(/)(0,0)abcabcbc///()(0,0)abcabcbc3.比和比例清华在线比的定义：两个数相除，又称为这两个数的比，即:aabb；比的性质：比的前项与后项同乘（除）以同一个非零的数，其比值不变。比例的定义：两个比相等时，称为比例，用字母表示为::abcd或acbd比例acbd的性质：①adbc（外项积＝内项积）②dcba或abcd（互换外项或内项）③abcdbd（合比定理）④abcdbd（分比定理）⑤abcdabcd（合分比定理）第二章初等代数这部分主要考查代数等式和不等式的变换和计算。包括：实数和复数；乘方和开方；代数式的运算和因式分解；方程和不等式的解法；数学归纳法，数列；二项式定理，排列，组合和概率及统计的基本知识等。第一节数和代数式【备考要点】数与代数式部分主要考察实数和复数的概念和简单的性质，以及它们的四则运算与运用，来培养数学的运算能力。根据数的概念、公式、原理、法则，进行数、式、方程的正确运算和变形；通过已知条件分析，寻求与设计合理、简捷的运算途径。【解题技巧】（一）必知公式1．实数的运算（1）乘方与开方（乘积与分式的方根、根式的乘方与化简）yxyxaaa，yxyxaaa，xxxbaab)(，xyyxaa)(.（2）绝对值的性质0,0,00,aaaaaa，baba，aaa.2．复数（1）基本概念：虚数单位是12i；对复数biaz的模长是22baz，幅角abtan，其中]2,0[；清华在线，虚部是b。它的共轭复数是bia。（2）基本形式代数形式：biaz，三角形式：)sin(cosizz，指数形式：iezz（3）复数的运算及其几何意义加法：ibaz111，ibaz222，)()(212121bbiaazz数乘：biaz，biaz乘法：)sin(cos1111izz，)sin(cos2222izz，))sin()(cos(21212121izzzz，除法：))sin()(cos(21212121izzzz3．代数式（单项式、多项式）（1）几个常用公式（和与差的平方，和与差的立方，平方差，立方和，立方差等）（2）简单代数式的因式分解（3）多项式的除法第二节集合、映射和函数【备考要点】集合、映射和函数主要考察集合的概念，集合的子交并补的性质；函数的概念，及函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的判断和应用；幂函数、指数函数、对数函数的初等性质。以此来培养数学的逻辑推理能力：对数学问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；能用演绎、归纳和类比进行推理。【解题技巧】（一）必知公式1．集合（1）概念空集；集合的表示法：}0|{xxA；几个常用的集合：N，Z，Q，R，C。（2）包含关系子集BxAxBA；真子集；两个集合相等的条件BA且AB；子集的个数的计算。（3）运算交集、并集、补集、全集、运算律、摩根律：BA，BA，))((ACAI，)(CBACBA，)()()(CABACBA，2．函数（1）概念清华在线函数的两个要素是：定义域和对应法则。反函数的概念)(1xfy，若),(ba在原函数的图像上，则),(ab在它的反函数图像上。（2）简单性质函数的四个性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性的定义和判断的方法。有界性：Mxf)(；奇偶性：奇函数：)()(xfxf，偶函数：)()(xfxf；周期性：)()(Txfxf。一个关于周期函数的重要的变换：)())(()()()(aTxgbaTxafTbaxfbaxfxg（4）幂函数、指数函数、对数函数的定义、性质、图像和常用公式。axy，xay，xyalog，xylg，xyln，yxxylnlnln，yxyxlnlnln，xyxylnln，axxbbalogloglog第三节代数方程和简单的超越方程【备考要点】代数方程和简单的超越方程主要考察方程的求解，函数性质在方程中的应用。来培养数学的综合解决问题的能力：理解和分析用数学语言所表述的问题，列出方程；综合应用数学的知识和思想方法解出方程。【解题技巧】（一）必知公式1．一元一次方程、二元一次方程一元一次方程的形式是0axb，其中0a，它的根为bxa.二元一次方程组的形式是111222axbycaxbyc，如果12210abab，则方程组有唯一解(,)xy.2．一元二次方程一元二次方程的形式是20axbxc（1）判别式：acb42（2）求根公式：aacbbx242（3）根与系数的关系：abxx21，acxx21（4）二次函数的图像清华在线)2(222以2bxa为对称轴，24(,)24bacbaa为顶点的抛物线。3．简单的指数方程和对数方程例如：2134225,lg(223)1xxxx等，像这样的方程可用换元法化为代数方程来求解。第四节不等式【备考要点】不等式主要考察不等式的解法和不等式的应用。来培养数学的计算能力和综合解决问题的能力。【解题技巧】（一）必知公式1.不等式的基本性质及基本不等式：算术平均数与几何平均数、绝对值不等式。2.几种常见的不等式解法绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等。(二)真题例解1.特殊值法通过选取合适的特殊值，将正确选项找出是处理选择题的最有效方法之一。2.求导数法这种方法在处理不等式问题时很可行，在第一章节我们也用到了这种方法。第五节数列、数学归纳法【备考要点】数列主要考察数列的概念，等差数列和等比数列的求和及应用。数学归纳法是一种重要的证明关于自然数问题的方法。以此来培养综合解决问题的能力。【解题技巧】（一）必知公式1.数列的概念数列的形式：,,,,321aaa通项为}{na，前n项和为nkknnaaaaS121，2.等差数列（1）概念定义：daann1，通项：dnaan)1(1，前n项和：dnnnaSn)1(211（2）简单性质：中项公式、平均值nknknaaa2，)(21121nnaanaaa3.等比数列（1）概念清华在线定义：0na，qaann1，通项：11nnqaa，前n项和：qqaSnn111（2）简单性质：中项公式：2nknknaaa4.数学归纳法证明：)1(211nnknk第六节排列、组合、二项式定理和古典概率【备考要点】排列、组合、二项式定理主要是为概率论来服务的，主要考察排列和组合的定义。古典概率是现代概率的基础，主要考察等可能事件概率的计算。以此来培养理解实际问题和解决问题的能力。【解题技巧】（一）必知公式1．加法原理如果完成一件事可以有n类办法，在第i类办法中有im种不同的方法(1,2,,)in，那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法。2．乘法原理如果完成一件事需要分成n个步骤，做第i步有im种不同的方法(1,2,,)in，那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法。3．排列与排列数（1）定义：从n个不同的元素中任取m()mn个，按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的一个排列；所有这些排列的个数，称为排列数，记为mnP。（2）排列数公式：)1()2)(1(mnnnnPmn注：阶乘（全排列）!mmPm4．组合与组合数（1）定义：从n个不同的元素中任取m()mn个并成一个组，称为从n个元素中取出m个元素的一个组合；所有这些组合的个数，称为组合数，记为mnC。清华在线（2）组合数公式：mmmnmnPPC（3）基本性质：mnnmnCC，11mnmnmnCCC，nnkknC205．二项式定理nkknkknnbaCba0)(6．古典概率的基本概念样本空间、样本点、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件。7．概率的概念与性质（1）定义（非负性、规范性、可加性）；（2）性质:1)(0AP，0)(P，)()()()(BAPBPAPBAP7．几种特殊事件发生的概率（1）等可能事件（古典概型）nmAP)(（2）互不相容事件)()()(BPAPBAP对立事件1)()(BPAP（3）相互独立事件)()()(BPAPBAP（4）独立重复试验如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为knkknnppCkP)1()(第三章几何与三角这部分主要考查三角形、四边形、圆形以及多边形等平面几何图形的角度、周长、面积等计算和运用；长方体、正方体以及圆柱体等各种规范立体图形的表面积和体积的计算和运用；三角学；以及解析几何方面的知识等。第一节平面几何图形【备考要点】平面几何部分重点考查的是三角形、四边形、圆形以及（正）多边形等平面几何图形的角度、清华在线周长、面积等计算和运用；【解题技巧】（一）必知公式1．三角形（1）三角形内角之和123三角形外角等于不相邻的两个内角之和。（2）三角形面积公式))()((sin2121cpbpappCabahs，2pabc其中h是a边上的高，C是ba,边所夹的角，p为三角形的半周长。（3）三角形三边关系：两边之和大于第三边，即abc（4）几种特殊三角形（直角、等腰、等边）勾股定理：222bac等腰直角三角形的三边之比：1:1:22．四边形（1