集合、函数、导数、三角函数、向量

合肥八中2015届高三第二次段考数学试题（理科）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、复数11i的实部是（）A．12B．12C．1D．—12.已知集合2{|5140},{|121}AxxxBxmxm,若B且ABA,则A.34mB.34mC.24mD.24m3.下列四个选项错误的是A.命题“若1x,则2320xx”的逆否命题是“若2320xx,则1x”B.若pq为真命题,则,pq均为真命题C.若命题2:,10pxRxx,则2:,10pxRxxD.“2x”是“2320xx”成立的充分而不必要条件4.已知角的终边上有一点P的坐标为22(sin,cos)33,则角的最小正值为A.56B.23C.53D.1165.已知O，N，P在ABC所在平面内，且,0OAOBOCNANBNC，且PAPBPBPCPCPA，则点O，N，P依次是ABC的（）（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心6.已知函数sin()(0,||)2yAxmA的最大值为4,最小值为0,且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为2,直线6x是该函数图象的一条对称轴,则该函数的解析式是A.4sin(2)6yxB.2sin(2)26yxC.2sin()23yxD.2sin()23yx7.222(2cos)2xdx的值是A.B.2C.2D.28.函数()fx的定义域为D，若存在闭区间[,]abD，使得函数()fx满足：①()fx在[,]ab内是单调函数；②()fx在[,]ab上的值域为[2,2]ab，则称区间[,]ab为()yfx的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（）①)0()(2xxxf；②()()xfxexR；③)0(14)(2xxxxf；④)1,0)(81(log)(aaaxfxaA、①②③④B、①②④C、①③④D、①③9.已知a为常数,函数)(ln)(axxxxf有两个极值点x1，x2(x1x2),则（）A、121()0,()2fxfxB、121()0,()2fxfxC、121()0,()2fxfxD、121()0,()2fxfx10.设函数2()2,()ln3xfxexgxxx,若实数,ab满足()()0fagb,则A.()0()gafbB.()0()fbgaC.0()()gafbD.()()0fbga二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案写在答题卷的相应位置上.11.函数()2sin(),[,0]4fxxx的单调递减区间为12.已知函数23410(2)()log(1)6(2)xxxfxxx,若2(6)(5)fafa，则实数a的取值范围是________13.△ABC的三边a，b，c成等比数列，若sincos,tBB则t的取值范围是。14.如图，⊙O的半径为1，点,,ABC是⊙O上的点,且30AOB,ABAC2，则BCOA.吨15.设函数()fx的定义域为D,若存在非零实数t使得对于任意实数()xMMD,有xtD且()()fxtfx,则称函数()fx为M上的“t高调函数”。给出下列三个命题:(1)函数1()()2xfx是R上的“1高调函数”;(2)函数()sin2fxx是R上的“高调函数”;(3)若定义域为[1,)的函数2()fxx为[1,)上的“m高调函数”,那么实数m的取值范围是[2,).其中正确的命题是(写出你认为正确的所有命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.16(本小题满分12分)已知集合222{|320},{|2},{|40}AxxxByyxxaCxxax,命题:pAB;命题:qAC.(Ⅰ)若命题p为假命题,求实数a的取值范围;(Ⅱ)若命题pq为真命题,求实数a的取值范围.17(本小题满分12分)已知函数22()32log,()log.fxxgxx(Ⅰ)当[1,4]x时,求函数()[()1]()hxfxgx的值域;(Ⅱ)如果对任意的[1,4]x,不等式2()()()fxfxkgx恒成立,求实数k的取值范围.18(本小题满分12分)设ABC的内角,,ABC所对的边长分别为,,abc，且(23)cos3cosbcAaC．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若角6B,BC边上的中线AM的长为7，求ABC的面积．19(本小题满分13分)已知函数2()(12)ln(fxxaxaxa为实常数)(Ⅰ)当1a时,求曲线()yfx在1x处的切线方程;(Ⅱ)当0a时,讨论函数()yfx在区间(0,1)上的单调性,并求出相应的单调区间.20(本小题满分13分)已知函数2()sincos3cos333xxxfx.(Ⅰ)将()fx写成sin()Axb的形式,并求出该函数图象的对称中心;(Ⅱ)在ABC中,角,,ABC所对的边分别为,,abc,且满足2bac,求()fB的取值范围.21(本小题满分13分)已知函数21()ln(1)22fxxaxax.(Ⅰ)当0a时,求函数()fx的单调区间;(Ⅱ)若01x,求证:(1)(1)fxfx;(Ⅲ)若1122(,),(,)AxyBxy为函数()yfx的图象上的两点,记k为直线AB的斜率,若1202xxx,'()fx为()fx的导函数,求证:0'()fxk.参考答案一、12345678910BDBDCBDCDA二、11、12.1,6-13.14.15.②③三、17.【答案】：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]．故函数h(x)的值域为[0,2]．……………4分(2)由f(x2)·f(x)k·g(x)得(3－4log2x)(3－log2x)k·log2x，令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，所以(3－4t)(3－t)k·t对一切t∈[0,2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0,2]时，k3－4t3－tt恒成立，即k4t＋9t－15恒成立，因为4t＋9t≥12，当且仅当4t＝9t，即t＝32时取等号，所以4t＋9t－15的最小值为－3，即k的取值范围为(－∞，－3)．……………8分18.【答案】(1)∵(2b－3c)cosA＝3acosC，∴(2sinB－3sinC)cosA＝3sinAcosC.即2sinBcosA＝3sinAcosC＋3sinCcosA.∴2sinBcosA＝3sinB.∵sinB≠0，∴cosA＝32，∵0Aπ，∴A＝π6.…………………6分(2)由(1)知A＝B＝π6，所以AC＝BC，C＝2π3，设AC＝x，则MC＝12x.又AM＝7，在△AMC中，由余弦定理得AC2＋MC2－2AC·MCcosC＝AM2，即x2＋x22－2x·x2·cos120°＝(7)2，解得x＝2，故S△ABC＝12x2sin2π3＝3.…………………12分19.【答案】(1)当a＝－1时，f(x)＝x2＋x－lnx，则f′(x)＝2x＋1－1x，(2分)所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为：y－2＝2(x－1)，即：y＝2x.(4分)(2)由题意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋ax＝xaxx))(21(2(1x＞0)，由f′(x)＝0，得x1＝12，x2＝a，(5分)①当0＜a＜12时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜a或12＜x＜1由f′(x)＜0，又知x＞0，得a＜x＜12，所以函数f(x)的单调增区间是(0，a)和12，1，单调减区间是a，12，②当a＝12时，f′(x)≥0，且仅当x＝12时，f′(x)＝0，所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数．③当12＜a＜1时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜12或a＜x＜1，由f′(x)＜0，又知x＞0，得12＜x＜a，所以函数f(x)的单调增区间是0，12和(a,1)，单调减区间是12，a，④当a≥1时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜12，由f′(x)＜0，又知x＞0，得12＜x＜1，所以函数f(x)的单调增区间是0，12，单调减区间是12，1.(12分)20.【答案】23)332sin(2332cos2332sin21)32cos1(2332sin21)(xxxxxxf由)332sin(x=0即zkkxzkkx213)(332得即对称中心的横坐标为zkk，213……………………6分（Ⅱ）由已知b2=ac，，，，，，231)332sin(31)332sin(3sin|295||23|953323301cos21212222cos22222xxxxxacacacacaccaacbcax即)(xf的值域为]231,3(.综上所述，]3,0(x，)(xf值域为]231,3(.……………………13分