集合与常用逻辑用语复习

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第1讲集合及其运算最新考纲1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A=B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B真子集A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素AB空集空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B={x|x∈A,或x∈B}A∩B={x|x∈A,且x∈B}∁UA={x|x∈U,且x∉A}4.集合的运算性质并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.补集的性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=∅;∁U(∁UA)=A.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},C={y|y=x2},则A=B=C.()(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.()(3)已知集合A={x|mx=1},B={1,2},且A⊆B,则实数m=1或m=12.()(4)含有n个元素的集合的子集个数是2n,真子集个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.()2.(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=()A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)3.已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为()A.0B.1C.2D.34.(人教A必修1P12A10改编)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则(∁RA)∩B=________.5.设集合A={x|x2+2x-30},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是________.考点一集合的含义【例1】(1)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=()A.4B.2C.0D.0或4(2)已知a∈R,b∈R,若a,ba,1={a2,a+b,0},则a2016+b2016=________.解析(1)由ax2+ax+1=0只有一个实数解,可得当a=0时,方程无实数解;当a≠0时,则Δ=a2-4a=0,解得a=4(a=0不合题意舍去).(2)由已知得ba=0及a≠0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2016+b2016=1.答案(1)A(2)1规律方法(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合.(2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【训练1】(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A.1B.3C.5D.9(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.考点二集合间的基本关系【例2】(1)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1x2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为__________.(2)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁UA)∩B=∅,则m=__________.解析(1)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2.当B≠∅时,若B⊆A,如图.深度思考①你会用这些结论吗?A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B,(∁UA)∩B=∅⇔B⊆A;②你考虑到空集了吗?则m+1≥-2,2m-1≤7,m+12m-1,解得2m≤4.综上,m的取值范围是(-∞,4].(2)A={-2,-1},由(∁UA)∩B=∅,得B⊆A,∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.答案(1)(-∞,4](2)1或2规律方法(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn图来直观解决这类问题.【训练2】(1)已知集合A={x|y=ln(x+3)},B={x|x≥2},则下列结论正确的是()A.A=BB.A∩B=∅C.A⊆BD.B⊆A(2)已知集合A={x|log2x≤2},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是__________.考点三集合的基本运算【例3】(1)(2014·四川卷)已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B=()A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1}D.{-1,0}(2)(2015·开封模拟)设集合U=R,A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1}D.{x|x≤1}解析(1)因为A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},B=Z,所以A∩B={-1,0,1,2}.(2)易知A={x|2x(x-2)<1}={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2},B={x|y=ln(1-x)}={x|1-x>0}={x|x<1},则∁UB={x|x≥1},阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={x|1≤x<2}.答案(1)A(2)B规律方法(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.【训练3】(1)(2014·浙江卷)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA=()A.∅B.{2}C.{5}D.{2,5}(2)设集合M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},若M∩N≠∅,则实数a的取值范围一定是()A.[-1,2)B.(-∞,2]C.[-1,+∞)D.(-1,+∞)微型专题集合背景下的新定义问题以集合为背景的新定义问题,集合只是一种表述形式,实质上考查的是考生接受新信息、理解新情境、解决新问题的数学能力.解决此类问题,要从以下两点入手:(1)正确理解创新定义.分析新定义的表述意义,把新定义所表达的数学本质弄清楚,进而转化成熟知的数学情境,并能够应用到具体的解题之中,这是解决问题的基础.(2)合理利用集合性质.运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素,但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.【例4】(2014·青岛质检)设集合M=xm≤x≤m+34,N=xn-13≤x≤n,且M,N都是集合{0|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是()A.13B.23C.112D.512点拨先理解集合的“长度”,然后求M∩N的“长度”的最小值.解析由已知,可得m≥0,m+34≤1,即0≤m≤14;n-13≥0,n≤1,即13≤n≤1,取m的最小值0,n的最大值1,可得M=0,34,N=23,1.所以M∩N=0,34∩23,1=23,34.此时集合M∩N的“长度”的最小值为34-23=112.故选C.答案C点评本题的难点是理解集合的“长度”,解题时紧扣新定义与基础知识之间的相互联系,把此类问题转化成熟悉的问题进行求解.[思想方法]1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点;另一方面,在解答完毕时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.2.求集合的子集(真子集)个数问题,需要注意的是:首先,过好转化关,即把图形语言转化为符号语言;其次,当集合的元素个数较少时,常利用枚举法解决,枚举法不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法,使用时应做到不重不漏.3.对于集合的运算,常借助数轴、Venn图,这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简.2.空集不含任何元素,但它是存在的,在利用A⊆B解题时,若不明确集合A是否为空集时应对集合A的情况进行分类讨论.如例2(1)“错解1:由m+1≥-2,2m-1≤7,解得-3≤m≤4;错解2:由m+1<2m-1,m+1≥-2,2m-1≤7,解得2<m≤4,错因都是对集合B={x|m+1<x<2m-1}”认识不清.3.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲1.理解命题的概念;2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.知识梳理1.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.2.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2+2x-8<0”是命题.()(2)一个命题非真即假.()(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”.()(4)“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的必要不充分条件.()(5)给定两个命题p,q.若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.()2.命题“若α=π4,则tanα=1”的逆否命题是()A.若α≠π4,则tanα≠1B.若α=π4,则tanα≠1C.若tanα≠1,则α≠π4D.若tanα≠1,则α=π43.(2014·安徽卷)“x<0”是“ln(x+1)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2014·浙江卷)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.(人教A选修2-1P10练习4改编)下列命题:①x=2是x2-4x

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