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目目目目录录录录初等数学常用公式初等数学常用公式初等数学常用公式初等数学常用公式....................................................................................................................................................................................................1111第一章第一章第一章第一章绝对值绝对值绝对值绝对值比和比例比和比例比和比例比和比例平均值平均值平均值平均值............................................................................................................................................2222第一节条件充分性判断............................................2第二节绝对值..................................................3第三节比和比例.................................................6第四节平均值...................................................8课后练习........................................................9第二章第二章第二章第二章方程与不等式方程与不等式方程与不等式方程与不等式................................................................................................................................................................................12121212课后练习.......................................................23第三章第三章第三章第三章数列数列数列数列............................................................................................................................................................................................................27272727第一节基本概念................................................27第二节等差数列................................................28第三节等比数列................................................30课后练习.......................................................32初等数学常用公式初等数学常用公式初等数学常用公式初等数学常用公式乘法公式与二项式定理（1）222222()2;()2abaabbabaabb+=++−=−+（2）3322333223()33;()33abaababbabaababb+=+++−=−+−（3）01122211()nnnnknkknnnnnnnnnnabCaCabCabCabCabCb−−−−−+=++++++L（4）()abccbabcacabcbacba3)(333222−++=−−−++++；（5）()2222222abcabcabacbc+−=+++−−二、因式分解（1）22()()ababab−=+−（2）()()()()33223322;ababaabbababaabb+=+−+−=−++；（3）()()121...nnnnnababaabb−−−−=−+++三、分式裂项（1）111(1)1xxxx=−++（2）1111()()()xaxbbaxaxb=−++−++四、指数运算（（（（1））））1(0)nnaaa−=≠（（（（2））））01(1)aa=≠（（（（3））））(0)mnmnaaa=≥（（（（4））））mnmnaaa+=（（（（5））））mnmnaaa−÷=（（（（6））））()mnmnaa=（（（（7））））()(0)nnnbbaaa=≠（（（（8））））()nnnabab=（（（（9））））2aa=五、对数运算（（（（1））））logNaaN=（（（（2））））loglognbbaan=（（（（3））））1loglognbbaan=（（（（4））））log1aa=（（（（5））））1log0a=（（（（6））））logloglogMNMNaaa=+（7）logloglogNMMNaaa=−（8）1loglogbaab=（9）10lglog,lnlogaaeaa==六、排列组合（1）[]!(1)(1)()!mnnPnnnmnm=−−−=−L（约定0!1=）（2）!!!()!mmnnPnCmmnm==−（3）mnmnnCC−=（4）11mmmnnnCCC−++=（5）0122nnnnnnCCCC++++=L第一章绝对值比和比例平均值平均值平均值平均值二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理第一节第一节第一节第一节条件充分性判断条件充分性判断条件充分性判断条件充分性判断定义：对于两个命题A和B，若有A⇒B，则称A为B的充分条件。充分性判断题的解题说明：这类题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论。阅读每题给出条件（1）和条件（2）后选择：（A）条件（1）充分，但条件（2）不充分（B）条件（2）充分，但条件（1）不充分（C）条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分（D）条件（1）充分，条件（2）也充分（E）条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分21:2150(1)03(2)4(5)(3)035,(1),(2).xxxxxxx−−=−+⇒−例1.不等式成立所以条件充分充分例例例例1.211a成立（1）1a（2）1a显然：条件（1）不充分，条件（2）也不充分注意注意注意注意：：：：很多同学在解这类题型的时候，习惯于受传统解题思维的影响，往往从题干的结论出发，这样得出来的条件往往是必要条件，而不是充分的，如果刚巧得出来的必要条件就是充要条件的话，那么可能会得出正确答案，如果不是充要条件的话，答案就可能不正确了。第二节第二节第二节第二节绝对值绝对值绝对值绝对值1、定义实数a的绝对值记作a。a,00,0,0aaaaa==−当时当时当时2、几何意义一个实数在数轴上所对应的点，到原点的距离就是这个数的绝对值。48476aa0x3、性质（1）非负性0a≥（2）等价性2aa=（3）对称性aa=−4、常用的运算法则（1）⋅=⋅aba;b(0);aabbb=≠（2）(0);abbbab≤⇔−≤≤(0);abbabab≥⇔≤−≥或（3）abab±≤+当且仅当0ab≥时，abab+=+成立，当且仅当0ab≤时，abab−=+成立。（4）abab−≥−，当且仅当0,abab≥时，等式成立。（5）22()aa=5、非负数（1）0a≥（2）20a≥（3）a有意义，且0a≥非负数有下面两个易见的性质，在解题时常常要用到：（1）有限个非负数之和仍然是非负数；（2）如果有限个非负数之和等于零，则每一个非负数都必须等于零，即若0,abcd++++=L其中0,0,,0,abd≥≥≥L则0abcd=====L例例例例1.3已知21(2)0,xyxy−++−=求logxy的值。解：由xy10x12xy0y2−+==⇒−==所以12loglog0xy==例例例例1.4304030204030200)40(30)20(0,:0)40(30)202222=+−=++∴====−=+=−∴++=−+++−cbacbacbacbacba且它们的和为数已知式中各项均为非负解的值求：（已知Q例例例例1.5关于x的不等式32xxa−+−的解集是φ，则实数a的取值范围是（）（A）1a（B）1a≤（C）1a（D）1a≥（E）1a≠解：32(3)(2)1xxxx−+−≥−+−=，即使1a=时，原不等式仍然无解，故1a≤时解集为φ，答案为B例例例例1.6已知xa1,yx1,−≤−≤则有（）（A）ya2−≤（B）ya1−≤（C）y+a2≤（D）y+a1≤（E）以上结论均不对解：ya(yx)(xa)yxxayx1,xa1ya112−=−+−≤−+−−≤−≤−≤+=故应选（A）例例例例1.72abab−=−成立（1）0a（2）0b解：由条件（1）0a，可得1,aa=−但当b0≠时，1,bb=±故原式不一定成立，所以条件（1）单独不充分。同样可得出条件（2）单独也不充分。但当条件（1）和（2）联合起来时，即0a且0b时，原式成立，故此题应选C。例例例例1.8等式2x112x33−−=成立（1）1x2≤（2）x1−分析：本题可以先找出题干结论成立的充要条件，再判断给出的条件（1）和（2）是否是充要条件的子集或元素（即是否是充要条件的充分条件），如果两个条件单独都不是的话，还要看两个条件联合是否是充分的。由实数绝对值的定义知道aaa0=−⇔≤解：2x112x2x12x103333−−−−==−⇔≤即12x10,x2−≤≤显然条件（1）单独是充分的，条件（2）单独不充分，因为x1=满足条件（2）但是不能够使得结论成立。故本题应选（A）例例例例1.9方程f(x)1=有且仅有一个实根（1）f(x)x1=−（2）f(x)x11=−+解：由条件（1）得12x11x11x2,x0−=⇒−=±⇒==，所以条件（1）单独不充分由条件（2）得x111x10x=1−+=⇒−=⇒，所以条件（2）单独充分故本题应选（B）例例例例1.10等式242=−+−xx成立（1）2x≥（2）4x≤解：用baba+≤+24(2)(4)2(2)(4)024xxxxxxx−+−≥−+−=−⋅−≥=≤≤时成立解得显然条件（1）、（2）单独都不充分，联合起来充分，故选C第三节比和比例1、比的意义：两个数相除，又叫做这两个数的比，把a和b的比（)0≠b记为a:b或的比值比的值叫bababa,2、比的性质：tbatbammbmabambmamba=⇔=≠÷÷=≠=)0()0(3、百分比：常把比值表示百分数，称百分数形式的比值为百分比（或百分率）比如：1：2=50%4、比例：两个比相等的式子叫做比例。记为)::(dcbadcba==a,d为比例外项，b,c为比例内项。若b=c则有2bad=此时b叫做比例中项5、比例的性质:acbd=对于，(1)adbc=，(2)(dcabbacd==内外项交换位置等式依然成立）（3）合比定理(ddcbba+=+）,（4）ddcbba−=−（分比定理）（5）)(合分比定理dcdcbaba−+=−+6、正比例和反比例：正比例：如果变量X和Y，满足下面的关系，Y=KX（K≠0是比例系数），则X与Y成正比例。反比例：如果变量X和Y，满足下面的关系，Y0(≠=KXK，是比例系数），则X与Y成反比例。例例例例1.116:5:41:1:1=zyx设，且x+y+z=74，求y的值。分析：在求有关连比题的时候，一般先假设一个比例常数t。解：设1111114,5,64561111174120120244565tttxyzxyztt