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[做考题·明考向]1．(2012·北京高考)关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是()A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合解析：选由开普勒第三定律a3T2＝恒量可知当圆轨道的半径R与椭圆轨道的半长轴a相等时，两卫星的周期相等，故A项错；沿椭圆轨道运行的卫星在关于长轴对称的两点速率相等，故B项对；所有同步卫星的轨道半径均相等，故C错；沿不同轨道运行的卫星，其轨道平面只要过地心即可，不一定重合，故D错。B2．(2012·福建高考)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N0，已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()A.mv2GNB.mv4GNC.Nv2GmD.Nv4GmB解析：选由题意知行星表面的重力加速度为g＝Nm，又在行星表面有g＝GMR2，卫星在行星表面运行时有m′g＝m′v2R，联立解得M＝mv4GN，故选项B正确。3．(2012·海南高考)地球同步卫星到地心的距离r可用地球质量M、地球自转周期T与引力常量G表示为r＝________。解析：根据万有引力定律及圆周运动知识GMmr2＝m(2πT)2r，可得r＝3GMT24π2答案：3GMT24π24．(2012·上海高考)人造地球卫星做半径为r，线速度大小为v的匀速圆周运动。当其角速度变为原来的24倍后，运动半径为________，线速度大小为________。解析：由GMmr2＝mω2r可知，角速度变为原来的24倍后，半径变为2r，由v＝ωr可知，角速度变为原来的24倍后，线速度大小为22v。答案：2r22v由以上高考试题可以看出，本专题的高频考点主要集中在万有引力定律的应用、行星、卫星的运行规律、天体质量的估算等方面，难度适中。本专题在高考中还常考查到变轨问题、双星问题等，复习时注意抓住两条主线：一是万有引力等于向心力，二是重力等于向心力。[忆知识·查不足]1．必须精通的几种方法(1)天体质量和密度的估算方法(2)“变轨问题”的处理方法(3)“双星问题”的处理方法(4)第一宇宙速度的计算方法2．必须明确的易错易混点(1)任何物体间都存在万有引力，但万有引力定律并不适用于任何物体之间(2)只有在两极处的物体所受重力等于万有引力，地球上其他位置处，重力不等于万有引力，有时将二者按近似相等处理(3)卫星在稳定的圆周运动中，才有F万＝F向，否则F万≠F向(4)同步卫星、近地卫星、地球赤道上物体运动的特点不同(5)对于双星问题，求两星球间的万有引力时，公式F＝Gm1m2r2中的r＝L；求星球的向心力时，公式F向＝mv2r中的r＝r1(或r2)[例1](2011·福建高考)“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝43πR3，则可估算月球的()A．密度B．质量C．半径D．自转周期[解析]“嫦娥二号”在近月表面做匀速圆周运动，已知周期T，有GMmR2＝m4π2T2·R。无法求出月球半径R及质量M，但结合球体体积公式可估算出密度，A正确。[答案]A估算中心天体的质量和密度的两条思路1测出中心天体表面的重力加速度g，估算天体质量：GMmR2＝mg进而求得ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR。2利用环绕天体的轨道半径r、周期T，估算天体质量：GMmr2＝m4π2T2r即GM＝4π2r3T2若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径r＝R，则ρ＝M43πR3＝3πGT2。1．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确的是()A．天体A、B的质量一定不相等B．两颗卫星的线速度一定相等C．天体A、B表面的重力加速度之比等于它们的半径之比D．天体A、B的密度一定相等解析：选假设某天体有卫星绕其表面旋转，万有引力提供向心力，可得GMmR2＝m4π2T2R，那么该天体的平均密度为ρ＝MV＝M43πR3＝3πGT2，卫星的环绕速度v＝GMR，表面的重力加速度g＝GMR2＝G·4ρπR3，所以正确答案是C、D。CD[例2](2012·天津高考)一个人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的1/4，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的()A．向心加速度大小之比为4∶1B．角速度大小之比为2∶1C．周期之比为1∶8D．轨道半径之比为1∶2[解析]由万有引力提供向心力，GMmR2＝mv2R，可得v＝GMR。根据动能减小为原来的14可知，速度减小为原来的12，轨道半径增加到原来的4倍，向心加速度a＝GMR2减小到原来的1/16，向心加速度大小之比为16∶1，轨道半径之比为1∶4，选项A、D错误。由角速度公式ω＝vR，可知角速度减小为原来的18，角速度大小之比为8∶1，根据周期与角速度成反比可知，周期之比为1∶8，选项B错误，C正确。[答案]C人造卫星的a、v、ω、T与轨道半径的关系GMmr2＝mv2r→v＝GMr→v∝1rmω2r→ω＝GMr3→ω∝1r3m4π2T2r→T＝4π2r3GM→T∝r3ma→a＝GMr2→a∝1r2当r＝R地时v＝7.9km/s为第一宇宙速度ω为最大环绕角速度T为最小周期a为最大加速度g表2．2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2。则v1v2等于()A.R31R32B.R2R1C.R22R21D.R2R1解析：选“天宫一号”做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由GMmR2＝mv2R可得v＝GMR，则变轨前后v1v2＝R2R1，选项B正确。B[例3]1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道如图4－1所示，其近地点M和远地点N的高度分别为439km和2384km，则()A．卫星在M点的势能大于N点的势能B．卫星在M点的角速度大于N点的角速度图4－1C．卫星在M点的加速度大于N点的加速度D．卫星在N点的速度大于7.9km/s[解析]卫星在M点受到的万有引力大于N点受到的万有引力，所以卫星在M点的加速度大于N点的加速度，C正确；卫星离地面越高，线速度越小，角速度越小，重力势能越大，所以A错误，B正确；卫星的第一宇宙速度是7.9km/s，是最大的环绕速度，所以D错误。[答案]BC1卫星的a、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化。2a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定。3卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由GM=rv判断。4航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。5航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。3．如图4－2所示，是某次发射人造卫星的示意图，人造卫星先在近地圆周轨道1上运动，然后改在椭圆轨道2上运动，最后在圆周轨道3上运动，a点是轨道1、2的交点，b点是轨道2、3的交点，人造卫星在轨道1上的速度为v1在轨道2上a点的速度为v2a，在轨道2上b点的速度为v2b，在轨道3上的速度为v3，则各速度的大小关系是()图4－2A．v1v2av2bv3B．v1v2av2bv3C．v2av1v3v2bD．v2av1v2bv3解析：选在a点，由轨道1变到轨道2，是离心运动，这说明F供F需，而F需＝mv2r，因此是加速运动，故v2av1；在b点，由轨道2变到轨道3，还是离心运动，同理，是加速运动，故v3v2b，由v＝GMr知v1v3，所以v2av1v3v2b，C正确。C点击下图进入“限时训练”点击下图进入“反思训练”