2014届高三数学一轮复习专讲：2.14定积分与微积分基本定理

(4)abf(x)dx＝acf(x)dx＋(其中acb)．(3)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝；kabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxcbf(x)dx(2)abkf(x)dx＝(k为常数)；1．定积分的性质(1)ab1dx＝；b－a(1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分abf(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积[图1中阴影部分]．2．定积分的几何意义[动漫演示更形象，见配套课件](2)一般情况下，定积分abf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和[图2中阴影所表示]，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作，即abf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．3．微积分基本定理F(b)－F(a)F(x)|ba(1)平面图形的面积：一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形的面积为S，则S＝．(2)简单几何体的体积若几何体是由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b及x轴所围成的区域绕x轴旋转一周得到的，则其体积为V＝∫baπ[f(x)]2dx.4．定积分的应用∫baf(x)dx－∫bag(x)dx(f(x)g(x))[小题能否全取]1.241xdx等于()答案：D解析：241xdx＝lnx|42＝ln4－ln2＝ln2.A．－2ln2B．2ln2C．－ln2D．ln22．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是()答案：C3．(2011·福建高考)∫10(ex＋2x)dx等于()答案：BA．S＝∫10(x2－x)dxB．S＝∫10(x－x2)dxC．S＝∫10(y2－y)dyD．S＝∫10(y－y)dyA．1B．e－1C．eD．e＋1解析：∫10(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|10＝(e1＋1)－e0＝e.4．若∫10f(x)dx＝1，∫20f(x)dx＝－1，则∫21f(x)dx＝________.解析：∵∫20f(x)dx＝∫10f(x)dx＋∫21f(x)dx，∴∫21f(x)dx＝∫20f(x)dx－∫10f(x)dx＝－1－1＝－2.答案：－25．(2012·山东高考)设a0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.解析：由已知得S＝0axdx＝23x32|a0＝23a32＝a2，所以a12＝23，所以a＝49.答案：491.利用微积分基本定理(即牛顿—莱布尼兹公式)求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数f(x)的一个原函数F(x)，其过程实际上是求导运算的逆运算，即运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出F(x)．2．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．(1)12(x2＋2x＋1)dx；(2)0π(sinx－cosx)dx；(3)12|3－2x|dx.[例1]求下列函数的定积分．[自主解答](1)12(x2＋2x＋1)dx＝12x2dx＋122xdx＋121dx＝x33|21＋x2|21＋x|21＝193.(2)0π(sinx－cosx)dx＝0πsinxdx－0πcosxdx＝(－cosx)|π0－sinx|π0＝2.(3)12|3－2x|dx＝∫321|3－2x|dx＋232|3－2x|dx＝∫321(3－2x)dx＋232(2x－3)dx＝(3x－x2)|321＋(x2－3x)|232＝12.应用微积分基本定理求定积分abf(x)dx时，可按以下两步进行：第一步：求使F′(x)＝f(x)成立的F(x)；第二步：计算F(b)－F(a)．1．求下列定积分．(1)02(4x3＋3x2－x)dx；(2)02|1－x|dx.解：(1)02(4x3＋3x2－x)dx＝02(4x3)dx＋02(3x2)dx－02xdx＝x4|20＋x3|20－12x2|20＝(24－0)＋(23－0)－12(22－0)＝16＋8－2＝22.(2)02|1－x|dx＝01(1－x)dx＋12(x－1)dx＝x－12x2|10＋12x2－x|21＝1－12－0＋12×22－2－12×12－1＝1.[例2](2012·上海高考)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B12，1、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．[自主解答]由题知y＝f(x)＝2x，0≤x12，2－2x，12≤x≤1，则y＝xf(x)＝2x2，0≤x12，2x－2x2，12≤x≤1，故函数y＝xf(x)的图象与x轴围成的图形的面积S＝∫1202x2dx＋112(2x－2x2)dx＝23x3|120＋x2－23x3|112＝14.[答案]14在本例条件下，求y＝f(x)(0≤x≤1)的图像与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的几何体的体积．解：所求体积为V＝∫π(2x)2dx＋∫π(2－2x)2dx＝4π∫x2dx＋∫1－2x＋x2dx＝4πx33＋x－x2＋13x3＝π3.012112012112112012利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图；(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差；(4)计算定积分，写出答案．2．(1)(2012·东北三校联合模拟)由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为________．(2)(2012·合肥模拟)计算∫101－x2dx＝________.解析：(1)由y＝2x2，y＝－4x－2，解得x＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为1－1(2x2＋4x＋2)dx＝23x3＋2x2＋2x|1－1＝23×13＋2×12＋2×1－23×－13＋2×－12＋2×－1＝163.(2)令y＝1－x2，则y2＝1－x2(y≥0)，即x2＋y2＝1(y≥0)，其图形为在x轴上方的半圆，如图，则∫101－x2dx的值为阴影部分的面积，所以所求值为14×π×12＝π4.答案：(1)163(2)π4[例3](2012·广州模拟)物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A．3B．4C．5D．6[自主解答]因为物体A在t0秒内行驶的路程为∫t00(3t2＋1)dt，物体B在t0秒内行驶的路程为∫t0010tdt，所以∫t00(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)|t00＝t03＋t0－5t20＝5⇒(t0－5)(t20＋1)＝0，即t0＝5.[答案]C利用定积分解决变速直线运动路程问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．3．设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为______J(x的单位：m，力的单位：N)．解析：变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝∫101F(x)dx＝∫101(x2＋1)dx＝13x3＋x|101＝342(J)．答案：342[典例](2013·济南调研)曲线y＝sinx(－π≤x≤2π)与x轴所围成的封闭区域的面积为()A．0B．2C．－2D．6[尝试解题]先求[0，π]上的面积：0πsinxdx＝|－cosx|π0|＝2.因为三块区域的面积相等，都是2，故总面积为6.[答案]D1.解答本题易犯的错误是直接求222sin|2,sincos|0xdxxdxx｜或利用，其结果都是错误的.2.解决此类问题由于作图不准确，致使被积函数或积分区间错误，从而结果出错，因此解题时，必须正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形.针对训练求曲线y＝x，直线y＝－x＋2及x轴所围成的图形的面积．解：如图所示，由y＝x及y＝－x＋2可得x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝x，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为∫20f(x)dx＝∫10xdx＋∫21(－x＋2)dx＝23x3210＋2x－x2221＝76.教师备选题（给有能力的学生加餐）1．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(1)＝4，f′(1)＝1，∫10f(x)dx＝316，则函数f(x)的解析式为_______．解题训练要高效见“课时跟踪检测（十七）”解析：由题意知f(1)＝a＋b＋c＝4，①f′(1)＝2a＋b＝1.②又由∫10f(x)dx＝∫10(ax2＋bx＋c)dx＝316，知a3＋b2＋c＝316③①②③联立，解得a＝－1，b＝3，c＝2，从而所求的函数f(x)的解析式为f(x)＝－x2＋3x＋2.答案：f(x)＝－x2＋3x＋22．(2012·广州一测)已知2≤12(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．解析：12(kx＋1)dx＝12kx2＋x|21＝12k×4＋2－12k×1＋1＝32k＋1，故原不等式等价于2≤32k＋1≤4，解得23≤k≤2，故k的取值范围为23，2.答案：23，23.如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所转成的图形的面积．解：由题意，知抛物线y＝－x2＋4x－3在点A处的切线斜率是k1＝y′|x＝0＝4，在点B处的切线斜率是k2＝y′|x＝3＝－2.因此，抛物线在点A处的切线方程为y＝4x－3，在点B处的切线方程为y＝－2x＋6.设两切线相交于点M，由y＝4x－3，y＝－2x＋6消去y，得x＝32，即点M的横坐标为32.在区间0，32上，直线y＝4x－3在曲线y＝－x2＋4x－3的上方；在区间32，3上，直线y＝－2x＋6在曲线y＝－x2＋4x－3的上方．因此，所求的图形的面积是S＝∫320[(4x－3)－(－x2＋4x－3)]dx＋∫332[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx＝∫320x2dx＋332(x2－6x＋9)dx＝98＋98＝94.