2014届高三数学一轮复习专讲：2.3函数的单调性与最值

一、增函数与减函数的定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上．1．如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是的．增加递增2．如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1x2时都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是的．二、单调区间、单调性及单调函数1．单调区间：如果y＝f(x)在区间A上是或是的，那么称为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是的；如果函数是减少的，那么它的图像是的．减少递减增加减少上升下降A2．单调性：如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是的或是的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．3．单调函数：如果函数y＝f(x)在整个定义域内是的或是的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．减少增加减少增加解析：由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝1xD．y＝x|x|[小题能否全取]1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()答案：DA．k12B．k12C．k－12D．k－12解析：函数y＝(2k＋1)x＋b是减函数，则2k＋10，即k－12.答案：D2．函数y＝(2k＋1)x＋b是减函数，则()答案：D3．(教材习题改编)函数f(x)＝11－x1－x的最大值是()解析：∵1－x(1－x)＝x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴11－x1－x≤43.A.45B.54C.34D.434．下列四个函数中，在(0,1)上增加的是()A．y＝sinxB．y＝－log2xC．y＝12xD．y＝x－122解析：∵y＝sinx在－π2，π2上是增加的，∴y＝sinx在(0,1)上是增加的．答案：A5．若函数f(x)＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是________．解析：当m＝0时，f(x)＝x＋5在[－2，＋∞)上是增加的；当m≠0时，则m0，－12m≤－2，解得0m≤14.综上所述0≤m≤14.答案：0，141.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．[注意]单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[例1]判断函数f(x)＝x＋ax(a0)在(0，＋∞)上的单调性．[自主解答]设x1x20，则f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2＋ax2＝(x1－x2)＋ax1－ax2＝(x1－x2)＋ax2－x1x1x2＝(x1－x2)1－ax1x2.当a≥x1x20时，x1－x20，1－ax1x20，有f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)＝x＋ax(a0)是减少的；当x1x2≥a时，x1－x20，1－ax1x20，有f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)＝x＋ax(a0)是增加的．综上可知，函数f(x)＝x＋ax(a0)在(0，a]上是减少的；在[a，＋∞)上是增加的．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．1．判断函数g(x)＝－2xx－1在(1，＋∞)上的单调性．解：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x2，则g(x1)－g(x2)＝－2x1x1－1－－2x2x2－1＝2x1－x2x1－1x2－1，由于1x1x2，所以x1－x20，(x1－1)(x2－1)0，因此g(x1)－g(x2)0，即g(x1)g(x2)．故g(x)在(1，＋∞)上是增函数．[例2](2012·长沙模拟)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝fx，fx≤k，k，fx＞k，取函数f(x)＝2－|x|.当k＝12时，函数fk(x)的单调递增区间为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)[自主解答]由f(x)12，得－1x1，由f(x)≤12，得x≤－1或x≥1.所以f12(x)＝2－x，x≥1，12，－1＜x＜1，2x，x≤－1.故f12(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．[答案]C若本例中f(x)＝2－|x|变为f(x)＝log2|x|，其他条件不变，则fk(x)的单调增区间为________．解析：函数f(x)＝log2|x|，k＝12时，函数fk(x)的图象如图所示，由图示可得函数fk(x)的单调递增区间为(0，2]．答案：(0，2]求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．2．(2013·枣庄质检)函数y＝x－|1－x|的单调增区间为________．解析：y＝x－|1－x|＝1，x≥1，2x－1，x＜1.作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．答案：(－∞，1][例3](1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)f(m2)的实数m的取值范围是________．(2)(2012·安徽高考)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.[自主解答](1)∵f(x)在R上为增函数，∴2－mm2.∴m2＋m－20.∴m1或m－2.[答案](1)(－∞，－2)∪(1，＋∞)(2)－6(2)由f(x)＝－2x－a，x－a2，2x＋a，x≥－a2，可得函数f(x)的单调递增区间为－a2，＋∞，故3＝－a2，解得a＝－6.单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用．3．(1)(2013·孝感调研)函数f(x)＝1x－1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．(2)若[5,8]是函数f(x)＝4x2－kx－8的单调区间，则k的取值范围是________．解析：(1)∵f′(x)＝－1x－120，∴f(x)在[2,3]上为减函数，∴f(x)min＝f(3)＝13－1＝12，f(x)max＝12－1＝1.(2)函数f(x)＝4x2－kx－8的对称轴为x＝k8，由题意k8≤5或k8≥8，即k≤40或k≥64.答案：(1)121(2)(－∞，40]∪[64，＋∞)[典例](2012·南京模拟)已知函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x0，则满足不等式f(1－x2)f(2x)的x的取值范围是________．[尝试解题]法一：画出f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x0的图象，由图象可知，若f(1－x2)f(2x)，则1－x20，1－x22x，即－1x1，－1－2x－1＋2，得x∈(－1，2－1)．法二：当x＝－1时，1－x2＝0,2x＝－2，则f(0)＝1，f(－2)＝1，无解；当－1x≤0时，1－x20，f(1－x2)f(2x)化为(1－x2)2＋11，恒成立；当0x≤1时，1－x2≥0,2x0，原不等式化为(1－x2)2＋1(2x)2＋1，即(x＋1)22，∴0x2－1；当x－1或x1时，1－x20，无解．综上知－1x2－1.[答案](－1，2－1)1．解答本题有两大误区：(1)误将f(1－x2)，f(2x)中的x当成分段函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x0中的x，从而造成失误；(2)仅考虑函数单调性，由f(1－x2)f(2x)，得1－x22x，却忽略了1－x20而失误．2．解决分段函数的单调性问题时，应注意：(1)抓住对变量所在区间的讨论；(2)保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；(3)弄清最终结果取并还是交．针对训练(2012·嘉兴一中模拟)已知函数f(x)＝a－2x，x≥2，12x－1，x2满足对任意的实数x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，2)B.－∞，138C．(－∞，2]D.138，2解析：函数f(x)是R上的减函数，于是有a－20，a－2×2≤122－1，由此解得a≤138，即实数a的取值范围是－∞，138.答案：B教师备选题（给有能力的学生加餐）1．(2011·新课标全国卷)下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是()x2＋x－6的单调区间．A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|解题训练要高效见“课时跟踪检测（六）”解析：A选项中，函数y＝x3是奇函数；B选项中，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数；C选项中，y＝－x2＋1是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数；D选项中，y＝2－|x|＝12|x|是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数．答案：B2．(2011·江苏高考)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．解析：由题意知，函数f(x)＝log5(2x＋1)的定义域为xx＞－12，所以该函数的单调增区间为－12，＋∞.答案：－12，＋∞3．求函数f(x)＝x2＋x－6的单调区间．解：设u＝x2＋x－6，y＝u.由x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.结合二次函数的图象可知，函数u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．又∵函数y＝u是递增的，∴函数f(x)＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．4．函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x0，y0都有fxy＝f(x)－f(y)，当x1时，有f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并加以证明；(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．解：(1)∵当x0，y0时，fxy＝f(x)－f(y)，∴令x＝y0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.(2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝fx2x1，∵x2x10.∴x2x11，∴fx2x10.∴f(x2)f(x1)，即f(x)在(0，＋∞)上是增加的．(3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增加的．∴f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(16)，∵f(4)＝2，由f